2017-2018学年山西省晋城一中度高二12月月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山西省晋城一中度高二12月月月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山西省晋城一中度高二12月月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则中元素的个数为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点， ，则中有2个元素.故选B.‎ ‎【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.‎ ‎2．命题“”的否定是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“”的否定是 故选：D ‎3．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】函数有零点，则函数与函数有交点，‎ 则： ，‎ 函数在上为减函数，则，‎ 据此可得“函数有零点”是“函数在上为减函数”的 必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．已知曲线与函数及函数（其中的图像分别交于，则的值为 （ ）‎ A. 16 B. 8 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数及函数（其中a＞1）是互为反函数，图象关于y=﹣x对称，‎ 又圆也关于y=﹣x对称，所以圆C：x2+y2=4与函数f（x）=loga（﹣x）和g（x）=（其中a＞1）的图象，如图所示 在第二象限的交点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 满足y1=﹣x2，y2=﹣x1，‎ 所以x12+x22=4．‎ 故选：C ‎5．设表示平面， 表示直线，给出下列四个命题：①； ②；③；④，其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③‎ ‎【答案】B ‎【解析】①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误； ‎ ‎②若a∥b，a⊥α，由收直线与平面垂直和判定定理得b⊥α，故②正确；‎ ‎③a⊥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故③错误； ‎ ‎④若a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎6．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点 的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由三视图得球与正方体左面切点的投影在棱上，球与正方体上面切点的投影在棱上，球与正方体下面切点的投影在棱上，与正方体右面切点的投影在棱上，由于,所以两个圆有交点，有重叠，故选B ‎【考点】三视图 ‎【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎7．如下图所示，在正三角形中， 分别为各边的中点， 分别为的中点.将沿折成三棱锥以后， 与所成角的度数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等；AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，故GH与IJ所成角的度数为60°，‎ 故选:B．‎ 点睛:本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．‎ ‎8．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ A. 或 B. 或 ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】因点关于轴对称的点的坐标为，故当反射光线的斜率存在时，其方程为，即，由题设圆心到该直线的距离，解之得或，应选答案D。‎ 点睛：解答本题的思路是先求出已知点关于轴对称的点的坐标为，再运用过该对称点的直线与已知圆的位置关系建立关于斜率的方程，通过解方程使得问题获解。‎ ‎9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）‎ A. B. 5‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，则可得： ，据此可得： ‎ 点在直线上，故： ，则：‎ ‎.‎ 当且仅当时等号成立.‎ 综上可得： 的最小值为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，其中，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意可知， ，所以为直角三角形，且 ,所以 ‎ ，所以 ，‎ 又焦点在x轴上，所以椭圆方程为 ，故选C ‎【考点】本题考查椭圆的定义和椭圆的简单几何性质 点评：解决本题的关键是利用直角三角形的判定得出为直角三角形，且 ‎11．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中， ， 平面 ，计算可得， ，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中， ， ，利用正弦定理可以求出的外接圆半径 ‎ ‎ ， ， ， 平面，则，则球的半径 ‎ ‎，外接球的表面积为，选A.‎ ‎【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.‎ 二、填空题 ‎12．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知得，∴，‎ ‎∵，当时，由得，∴‎ ‎，∴，；当时，显然符合题意；当时，，，∴，∴，．综上所述：．故选D．‎ ‎【考点】新定义，函数的概念与最值．‎ ‎13．已知椭圆，求以为中点的弦所在的直线方程为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴， ，两式相减得 ‎，‎ ‎∴，①‎ 又∵M（﹣1，1）为AB的中点，‎ ‎∴x1+x2=﹣2，y1+y2=2代入①式得 ‎，即kAB=，‎ ‎∴直线AB方程为，即3x﹣4y+7=0．‎ 故答案为: ‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎14．过点总可以作两条直线相切，求实数的取值范围_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，‎ 所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，‎ 又点（1，2）应在已知圆的外部，‎ 把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，‎ 解得：k＞2或k＜﹣3，‎ 则实数k的取值范围是．‎ 故答案为： ．‎ ‎15．如图， 是水平放置的按斜二测画法得到的直观图，其中， ，则原三角形的面积是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，直观图的面积为×4×3×sin45°=3，‎ 因为直观图和原图面积之间的关系为，‎ 故原△ABO的面积是3×2=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎16．已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则 的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 设，则 ‎【考点】向量数量积 三、解答题 ‎17．设实数满足,其中,命题实数满足.‎ ‎(1)若,且为真,求实数的取值范围；‎ ‎(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别求出p，q为真时的x的范围，取交集即可；（2）根据q是p的充分不必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由,得,‎ 又,所以，‎ 当时,又得，‎ 由p∧q为真.满足即.‎ 则实数x的取值范围是，‎ ‎(2)q是p的充分不必要条件,‎ 记,,‎ 则B是A的真子集, 且，‎ 则实数a的取值范围是.‎ ‎18．已知函数的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求常数的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1);(2);(3)最大值，最小值-3.‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，在计算所求.（2）利用正弦函数的最值，求在的最值.(3)求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.(4)求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方.‎ 试题解析：解：（1）‎ ‎，‎ 由，解得 ‎，所以函数的单调递增区间 将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，‎ 当时，，取最大值 当时，，取最小值-3.‎ ‎【考点】（1）求三角函数的单调区间；（2）求三角函数在闭区间上的最值.‎ ‎19．已知数列和满足，‎ ‎ ‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）记数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.‎ 试题解析：（1）由，得.‎ 当时，，故.‎ 当时，，整理得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 所以 所以.‎ ‎【考点】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.‎ ‎20．已知圆与圆.‎ ‎(1)求证两圆相交；‎ ‎(2)求两圆公共弦所在直线的方程；‎ ‎(3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可证明两圆相交；‎ ‎（2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；‎ ‎（3）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明:圆与圆化为标准方程分别为圆与圆,‎ 与圆,半径都为 圆心距为，两圆相交.‎ ‎(2)解:将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,即 ‎,‎ 即.‎ ‎(3)解:由(2)得代入圆,化简可得,，当时,;当时,设所求圆的圆心坐标为,则 ‎,‎ ‎，,‎ 过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为.‎ ‎21．在四棱锥中， 底面平分为的中点， 分别为上一点，且.‎ ‎（1）求的值，使得平面；‎ ‎（2）过点作平面的垂线，垂足为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】（1）要使得平面，只需找到平面平面，易得和；‎ ‎（2）过作，垂足为，进而证明平面，根据即可计算体积.试题分析：‎ 试题解析：（1）在中， 为直角，‎ ‎，则，‎ 又平分，所以，‎ 因为，所以又余弦定理可得，所以.‎ 当时， ，‎ 又，所以平面平面， ‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（2）过作，垂足为，‎ 则，‎ 由得为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，‎ 因为底面，所以，因为，‎ 所以平面，‎ 所以 则平面.‎ 过作的垂线，垂足为，则底面，‎ 易得， ‎ 因为四边形的面积为，‎ 所以.‎ ‎22．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．‎ ‎（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)根据题意可设椭圆方程为,则 则故，所以,椭圆方程为.‎ ‎(2)根据题意可以知道,直线l的斜率存在且不为0,‎ 故可设直线l的方程为,,,‎ 由消去y得 ‎,‎ 则,‎ 且,.‎ 故.‎ 因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,‎ 所以,‎ 即,又,所以,即.‎ 因为直线OP,OQ的斜率存在,且,得 且.设d为点O到直线l的距离,‎ 则,‎ 所以的取值范围为.‎ 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎