2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出集合B，再找出A和B的交集即可.‎ 详解：，‎ 又，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数的除法运算化简为的形式，则即可得到答案.‎ 详解：.‎ 则复数的虚部为.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.‎ ‎3．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：运用奇偶性的单调性的定义和常见函数的性质，逐一分析即可.‎ 详解：对A，在定义域上没有单调性，故A错误；‎ 对B，是偶函数，故B错误；‎ 对C，在R上单调递增，故C错误；‎ 对D，为奇函数且在R上单调递减，故D正确.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法和运用常见函数的性质，属于基础题和易错题.‎ ‎4．某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 若已知与的线性回归方程为，那么当广告费支出为5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ）万元（残差=真实值-预测值）‎ A. 40 B. 30 C. 20 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：把所给的广告费支出5万元时，代入线性回归方程，做出相应的销售额，这是一个预测值，再求出与真实值之间有一个误差即得.‎ 详解： 与的线性回归方程为，‎ 当时，50，‎ 当广告费支出5万元时，由表格得：，‎ 故随机误差的效应（残差）为万元.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预测y的值，是一个综合题目，是一个典型的题目.‎ ‎5．函数的零点所在区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由零点存在性定理判断即可.‎ 详解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由于，得函数在区间内存在零点.‎ 故选：B.‎ 点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎6．的内角， ， 的对边分别为， ， ．若的面积为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由面积公式和余弦定理进行计算可得。‎ 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。‎ ‎7．已知、表示两条不同直线， 表示平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图, ,但 相交, 错;‎ ‎ ,但, 错;‎ ‎ ,但 , 错;故本题选 ‎ ‎8．若直线与曲线相切于点,则( )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求得的导数，由斜率可得b，再由切点满足曲线方程，解方程可得c的值.‎ 详解：的导数为，‎ 直线与曲线相切于点,‎ ‎，解得，‎ 又切点在曲线上，‎ 则有，解得，‎ ‎，‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查导数的运用：求切线以及切线的斜率，注意运用切点既在切线上，也在曲线上，考查方程思想和运算能力，属于基础题.‎ ‎9．下面的折线图表示某商场一年中各月份的收入、支出情况，据此判断下列说法错误的是( )‎ A. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B. 支出最高值与支出最低值的比是6：1‎ C. 第三季度的月平均收入为50万元 D. 利润最高的月份是2月份（利润=收入-支出）‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可.‎ 详解：A，2至3月份的收入的变化率为，11至12月份的收入的变化率为，故相同，A正确；‎ B，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故B正确；‎ C，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为万元，故C正确；‎ D，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是万元，故D错误.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目.‎ ‎10．已知函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数为奇函数，‎ 即为.‎ ‎，所以为减函数，‎ 所以，解得.故选D.‎ ‎11．若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可得，即，函数有两个零点，即函数与的图象有两个交点，作出图象利用数形结合即可得到答案.‎ 详解：由题意可得，即，‎ 函数有两个零点，‎ 则函数与的图象有两个交点，‎ 作出图象，如图所示：‎ 则，即.‎ 故选：A.‎ 点睛：函数零点的求法：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．‎ ‎12．某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛．规定：每场竞赛的前三名得分分别为， ， （，且， ， ），选手的最终得分为各场得分之和．最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“听”这场竞赛的第三名是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】总分为，∴，只有种可能或，‎ 若、、分别为、、时，若乙在“听”中得第名，得分，即使他在剩下三场比赛中都得第名，得分，不符合要求，故、、分别为、、，乙的得分组成只能“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，即乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，其余均为第三名，由于甲得分为分，其得分组成只能是“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，在“听”比赛中甲、乙、丙三人得分分别为、、分，故获得第三名的只能是丙，故选．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的常见题型，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件间的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了500人服役，则南乡应该抽出__________人．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】分析：根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出南乡应抽人数.‎ 详解：根据分层抽样原理，抽样比例为，‎ 南乡应该抽出人.‎ 故答案为：120.‎ 点睛：分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．‎ ‎14．已知，且，则向量与向量的夹角是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，，数量积为0，得到关于数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围.‎ 详解：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两个向量的夹角是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题，注意解题过程中角的范围.‎ ‎15．函数，若满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由导数的概念可得， ，即可得到所求.‎ 详解：，‎ ‎ ，即.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查曲线在某处切线斜率的意义，运用导数的概念判断，是解题的关键.‎ ‎16．下列四个命题中真命题的序号是__________．‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题，命题，则为真命题；‎ ‎③命题“”的否定是“”；‎ ‎④“若，则”的逆命题是真命题.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】分析：对命题逐一分析即可.‎ 详解：对①，，解得或，故“”是“”的充分不必要条件，即①正确；‎ 对②，为真命题，为假命题，则为假命题，即②不正确；‎ 对③，“”的否定是“”，故③正确；‎ 对④，逆命题为若，则，当时不成立，故④不正确.‎ 故答案为：①③.‎ 点睛：本题考查命题的真假判断、充分必要条件的判断、命题的否定及复合命题的真假，属于基础题和易错题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是公差不为零的等差数列，的前项和为，若成等比数列，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）30‎ ‎【解析】分析：（1）由已知条件列出方程求解即可.‎ ‎（2）由即可求得答案.‎ 详解：（1）解：由题意知，，‎ 由于,整理得，‎ 代入，解得：， ‎ 所以 ‎ ‎（2）解法一：由可知，‎ 即 解法二：由可知，‎ 点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎18．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面,分别是线段的中点，.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）取的中点为，连接,推导出四边形为平行四边形，由此能证明；‎ ‎（2）由题意知因为，知到平面的距离等于到平面距离，连接，从而求得与，则利用即可求得.‎ 详解：（1）证明：取的中点为，连接,‎ ‎∵四边形是正方形,分别是线段 的中点, , ‎ ‎,∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ 平面，平面，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）解：由题意知,‎ ‎∵,‎ ‎∴到平面的距离等于到平面距离，连接，‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴且， ‎ ‎∴.‎ 点睛：本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查立体几何的基础知识，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎19．一则“清华大学要求从 2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.‎ 某中学拟在高一-下学期开设游泳选修课，为了了解高--学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表:‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎30‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.‎ ‎(1).请将上述列联表补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.‎ ‎(2)已知在被调查的学生中有6名来自高一(1) 班，其中4名喜欢游泳，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰有1人喜欢游泳的概率.‎ 附： ‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）可以（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意计算喜欢游泳的学生人数，求出女生、男生多少人，完善列联表，再计算观测值，对照临界值表即可得出结论；‎ ‎（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为，不喜欢游泳的学生为，通过列举法即可得到答案.‎ 详解：（1）解：根据条件可知喜欢游泳的人数为人 ‎ 完成列联表： ‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎ 40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎ 30‎ ‎50‎ 合计 ‎ 60‎ ‎ 40‎ ‎100‎ 根据表中数据，计算 可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.‎ ‎（2）解：设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为，‎ 不喜欢游泳的学生为，基本事件总数有15种： ‎ ‎ ‎ 其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有8种：‎ ‎ ‎ 所以 点睛：本题考查了独立性检验与运算求解能力，同时考查通过列举法求概率的应用，属于中档题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若在处取得极小值，求的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求函数的导数，由求之即可；（2）分、、分别讨论函数的单调性，由单调性求出函数在区间上的最小值，由求之即可.‎ 试题解析： （1）∵的定义域为，，‎ ‎∵在处取得极小值，∴，即.‎ 此时，经验证是的极小值点，故 ‎ ‎（2）∵，‎ ‎①当时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴当时，矛盾 ‎②当时，，‎ 令，得；，得.‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 时，，即递减，∴矛盾.‎ ‎（ⅱ）当，即时，‎ 时，，即递增，∴满足题意.‎ 综上， ‎ 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. ‎ ‎【答案】（1）（2）27‎ ‎【解析】分析：（1）由题意知，右焦点即，且，从而求得，的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）由（1）知，分当直线的斜率不存在与存在两种情况进行讨论即可.‎ 详解：（1）解：由题意知，右焦点即，且，解得 ‎，所以椭圆方程为 ‎ ‎（2）解：由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，‎ 易知，所以直线 令，可知：,此时. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 设，直线直线 令，可知，‎ 联立，消去整理得，‎ ‎∴ ‎ 此时 ‎ ‎ 综上所述，‎ 点睛：解决定点、定值问题常用策略：‎ ‎(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．‎ ‎(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；‎ ‎(2)已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析 ：(1)直线，所以斜率，过（0，0），直角坐标方程为，同理可求的的直角坐标方程为.两边同时乘以，得，再由，代入可得故 ‎，所以圆过（2，1），r=,曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎(2) 直接利用极坐标方程联立求解，先联立得到，同理.又，所以,可解。‎ 试题解析：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为.‎ 因为，故，故，故，‎ 故曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）联立得到，同理.‎ 又，所以，‎ 即的面积为.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数,不等式的解集为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）3（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由已知可得，从而，即可求得实数的值；‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，等价于恒成立，，从而求实数的取值范围.‎ 详解：（1）因为 所以不等式，即 所以，‎ 因为不等式解集为，‎ 所以,‎ 解得. ‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 解得.‎ 点睛：本题主要考查不等式的解集与方程根的关系以及不等式恒成立问题，利用绝对值不等式的性质是解决本题的关键.‎