数学文·辽宁省大连二十中2017届高三上学期期中考试数学文试卷+Word版含解析

数学文·辽宁省大连二十中2017届高三上学期期中考试数学文试卷+Word版含解析

‎2016-2017学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={x|x≥0}，B={0，1，2}，则（　　）‎ ‎2．给定下列三个式子：‎ ‎①sin15°cos15°； ‎ ‎②cos2﹣sin2；‎ ‎③．‎ 其运算结果是的有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎3．设非零向量，，满足：||=||=||，+=，则＜，＞=（　　）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎4．已知集合A={y|y=sinx﹣cosx}，B={x|2x2+5x﹣3≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣3，] B．[﹣2，2] C．[﹣2，] D．[﹣3，﹣2]‎ ‎5．“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数f（x）=x2008，则=（　　）‎ A．0 B．1 C．2006 D．2007‎ ‎7．在△ABC中，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎8．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（　　）‎ A． B．2 C．4 D．6‎ ‎9．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）‎ A． B．3 C．m D．3m ‎10．若一系列函数的解析式和值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈[1，2]，与函数y=x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（　　）‎ A．y=x B．y=|x﹣3| C．y=2x D．y=log ‎11．设A，B∈R，A≠B，且A•B≠0，则方程B•x﹣y+A=0和方程A•x2﹣B•y2=A•B，在同一坐标系下的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设23﹣2x＞0.53x﹣4，则x的取值范围是　　．‎ ‎14．已知实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为　　．‎ ‎15．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB=，sin（A+B）=，则sinA=　　．‎ ‎16．数列{an}中，a1=1，an+1=，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知命题P：函数y=loga（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（﹣）=，a=3，求b+c的最大值．‎ ‎19．（12分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），与之间有关系|k+|=|﹣k|，其中k＞0．‎ ‎（1）用k表示•；‎ ‎（2）求•的最小值，并求此时•的夹角的大小．‎ ‎20．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于两个不同的两点A，B，且线段的中点M总在圆x2+y2=1的内部，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=ax3+（sinθ）x2﹣2x+c的图象过点（1，），且在[﹣2，1]内单调递减，在[1，+∞）上单调递增．‎ ‎（Ⅰ） 求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[m，m+3]，（m≥0），不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤恒成立，试问这样的m是否存在？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（2016秋•甘井子区校级期中）已知集合A={x|x≥0}，B={0，1，2}，则（　　）‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】综合题；综合法；集合．‎ ‎【分析】根据元素与集合的关系，子集的概念判断即可．‎ ‎【解答】解：∵B={0，1，2}，A={x|x≥0}，‎ ‎∴0、1、2∈A，‎ 但4∈A，4∉B，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查集合间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•甘井子区校级期中）给定下列三个式子：‎ ‎①sin15°cos15°； ‎ ‎②cos2﹣sin2；‎ ‎③．‎ 其运算结果是的有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简所给的式子，求得结果，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵①sin15°cos15°=•2sin15°cos15°=sin30°=，‎ ‎②cos2﹣sin2=cos=，‎ ‎③== tan45°=，‎ ‎【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2015秋•莆田校级期末）设非零向量，，满足：||=||=||，+=，则＜，＞=（　　）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】设向量，，的模长为1，对+=两边平方得出，代入夹角公式得出夹角．‎ ‎【解答】解：设||=||=||=1，‎ ‎∵+=，∴，‎ ‎∴2+2=1，解得=﹣．‎ ‎∴cos＜＞==﹣．‎ ‎∴＜，＞=120°．‎ 故选；B．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•甘井子区校级期中）已知集合A={y|y=sinx﹣cosx}，B={x|2x2+5x﹣3≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣3，] B．[﹣2，2] C．[﹣2，] D．[﹣3，﹣2]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．‎ ‎【分析】利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出y的值域即可，求解一元二次不等式化简集合B，然后由交集的运算性质计算得答案．‎ ‎【解答】解：A={y|y=sinx﹣cosx}={y|y=2sin（x﹣）}=[﹣2，2]，‎ B={x|2x2+5x﹣3≤0}={x|}=[﹣3，]，‎ 则A∩B=[﹣2，2]∩[﹣3，]=[﹣2，]．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了交集及其运算，考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•昌平区二模）“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】由直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，可得＜2，解出即可判断出．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣4y=0配方为：x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（0，2），半径R=2．‎ 若直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，则＜2，‎ 解得﹣2＜b＜6，‎ 因此“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（2013春•汶上县校级期末）函数f（x）=x2008，则=（　　）‎ A．0 B．1 C．2006 D．2007‎ ‎【考点】有理数指数幂的运算性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先求得f′（x），再利用幂的运算性质即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2008，‎ ‎∴f′（x）=2008x2007，‎ ‎∴=2008×‎ ‎=2008×‎ ‎=1．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查导数的运算，着重考查有理数指数幂的运算性质，考查运算与转化能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•甘井子区校级期中）在△ABC中，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B，由于a=1，b=，由正弦定理可得sinA，再结合a＜b求得A的值，可得C，再由三角形面积公式即可运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列，可得A+C=2B，再由三角形内角和公式求得B=．‎ ‎∴由于a=1，b=，有正弦定理可得 =，解得 sinA=，‎ ‎∵结合a＜b求得A=，‎ ‎∴C=，‎ ‎∴S△ABC=ab=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•张家口模拟）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（　　）‎ A． B．2 C．4 D．6‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，‎ 而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．‎ 又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•新课标I）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）‎ A． B．3 C．m D．3m ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，‎ ‎∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，‎ ‎∴点F到C的一条渐近线的距离为=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2011秋•黑龙江校级期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈[1，2]，与函数y=x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（　　）‎ A．y=x B．y=|x﹣3| C．y=2x D．y=log ‎【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】理解若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”的定义，根据例子判定四个选项的函数即可 ‎【解答】解：y=|x﹣3|，在（3，+∞）上为增函数，在（﹣∞，3）上为减函数，‎ 例如取x∈[1，2]时，1≤f（x）≤2；‎ 取x∈[4，5]时，1≤f（x）≤2；‎ 故能够被用来构造“同族函数”；‎ y=x，y=2x，y=是单调函数，定义域不一样，其值域也不一样，‎ 故不能被用来构造“同族函数”．‎ 故选B；‎ ‎【点评】此题主要考查函数的定义域及其求法，是一道基础题，新定义一定要读懂题意，再进行求解；‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•甘井子区校级期中）设A，B∈R，A≠B，且A•B≠0，则方程B•x﹣y+A=0和方程A•x2﹣B•y2=A•B，在同一坐标系下的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】通过讨论A，B的值，得到表示的圆锥曲线形状；将直线方程Bx﹣y+A=0变形为斜截式判断出其斜率及纵截距，由两种曲线的特点，选出图象．‎ ‎【解答】解：当A＞0，B＞0时，表示焦点在x轴的双曲线，‎ 方程Bx﹣y+A=0即为y=Bx+A其斜率为B，纵截距为A，‎ ‎∴选项C，D错；‎ 当A＜0，B＞0，且|A|＞|B|时，表示焦点在y轴的椭圆，‎ 方程Bx﹣y+A=0即为y=Bx+A其斜率为B，纵截距为A，‎ 故选项A错；‎ 当A＜0，B＞0，且|A|＜|B|时，表示焦点在x轴的椭圆，‎ 方程Bx﹣y+A=0即为y=Bx+A其斜率为B，纵截距为A．‎ 故选B．‎ ‎【点评】解决已知曲线的方程选择其图象的题目，一般先根据方程研究方程表示的曲线的性质，再根据曲线的性质选择出合适的图象．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；‎ 双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，‎ ‎∴=﹣=，‎ ‎∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（2016秋•甘井子区校级期中）设23﹣2x＞0.53x﹣4，则x的取值范围是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】指、对数不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；转化法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】把不等式两边化为同底数，然后利用指数式的单调性转化为一元一次不等式求解．‎ ‎【解答】解：由23﹣2x＞0.53x﹣4，‎ 得23﹣2x＞24﹣3x，即3﹣2x＞4﹣3x，‎ 解得：x＞1．‎ ‎∴x的取值范围是（1，+∞）．‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查指数不等式的解法，考查数学转化思想方法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•甘井子区校级期中）已知实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式．‎ ‎【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．‎ ‎【解答】解：约束条件对应的区域如图：z=4x﹣y变形为y=4x﹣z，当此直线经过图中最左侧点时，z最小，由得到（﹣，），所以最小值为；‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•甘井子区校级期中）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB=，sin（A+B）=，则sinA=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinB、cos（A+B）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinA=sin[（A+B）﹣B]的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵cosB=，∴sinB==，‎ ‎∵sin（A+B）=＜sinB，∴A+B为钝角，故cos（A+B）=﹣=﹣，‎ 则sinA=sin[（A+B）﹣B]=sin（A+B）cosB﹣cos（A+B）sinB=•+•=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，要特别注意cos（A+B）的符号，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（2016秋•甘井子区校级期中）数列{an}中，a1=1，an+1=，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由a1=1，an+1=，两边取倒数可得：=，即﹣=，再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由a1=1，an+1=，两边取倒数可得：=，即﹣=，‎ ‎∴数列是等差数列，首项为1，公差为．‎ ‎∴=1+（n﹣1），解得an=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）（2015•衡阳县校级一模）已知命题P：函数y=loga（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，我们可以可以得到命题P为真时，实数a的取值范围；根据二次不等式恒成立的条件，我们可以得到命题Q成立时，实数a的取值范围；再根据P∨Q是真命题时，两个命题中至少一个为真，进而可以求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵命题P函数y=loga（1﹣2x）在定义域上单调递增；‎ ‎∴0＜a＜1（3分）‎ 又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；‎ ‎∴a=2（2分）‎ 或，（3分）‎ 即﹣2＜a≤2（1分）‎ ‎∵P∨Q是真命题，‎ ‎∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1‎ ‎【点评】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，及二次不等式恒成立的条件，判断命题P与Q的真假是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•辽宁校级模拟）己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（﹣）=，a=3，求b+c的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；余弦函数的图象．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知及周期公式可求ω，由为f（x）的图象的对称中心，且0＜φ＜可求φ，可得函数解析式，，即可解得f（x）的单调递增区间（Ⅱ）由f（﹣）=结合A的范围可求得A的值，由余弦定理可求得：a2=（b+c）2﹣3bc，从而有，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期T=π，‎ ‎∴ω=2，‎ ‎∵为f（x）的图象的对称中心，‎ ‎∴，…（4分）‎ ‎∴，可解得：，k∈Z．‎ 故．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∵，…（9分）‎ ‎∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，‎ ‎∴，‎ ‎∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．‎ 故b+c的最大值为6…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016春•庄河市期中）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），与之间有关系|k+|=|﹣k|，其中k＞0．‎ ‎（1）用k表示•；‎ ‎（2）求•的最小值，并求此时•的夹角的大小．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）根据向量长度和向量数量积的关系进行展开整理即可．‎ ‎（2）根据向量数量积的公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）要求用k表示•，而已知|k+|=|﹣k|，故采用两边平方，得：‎ ‎|k+|2=（|﹣k|）2‎ k22+2+2k•=3（2+k22﹣2k•），‎ ‎∴8k••=（3﹣k2）2+（3k2﹣1）2‎ ‎•=‎ ‎∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴2=1，2=1，‎ ‎∴•==．‎ ‎（2）∵（k﹣1）2≥0即 k2+1≥2k，即≥=，∴•的最小值为，‎ 又∵•=||•||•cosγ，||=||=1，‎ ‎∴=1×1×cosγ．‎ ‎∴γ=60°，此时与的夹角为60°．‎ ‎【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的定义以及向量数量积与长度之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2011•新课标）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．‎ 由条件可知各项均为正数，故q=．‎ 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．‎ 故数列{an}的通项式为an=．‎ ‎（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，‎ 故=﹣=﹣2（﹣）‎ 则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，‎ 所以数列{}的前n项和为﹣．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•甘肃一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于两个不同的两点A，B，且线段的中点M总在圆x2+y2=1的内部，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0），建立方程组，求出a，b，由此能够得到椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由直线代入椭圆方程消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．‎ ‎∴，‎ ‎∴a=2，b=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），‎ 由直线代入椭圆方程消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，‎ ‎△=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2．‎ ‎∴x0==﹣，y0=x0+m=．‎ ‎∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上的内部，‎ ‎∴（﹣）2+（）2＜1，‎ ‎∴﹣＜m＜．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•长沙模拟）已知函数f（x）=ax3+（sinθ）x2﹣2x+c的图象过点（1，），且在[﹣2，1]内单调递减，在[1，+∞）上单调递增．‎ ‎（Ⅰ） 求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[m，m+3]，（m≥0），不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤恒成立，试问这样的m是否存在？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）求导函数，利用[﹣2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可确定sinθ=1，a=，再由f（1）=，即可求得f（x）的解析式；‎ ‎（2）由导函数，确定f（x）的单调性．再进行分类讨论，利用|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+xsinθ﹣2，‎ 由题设可知：，即，∴sinθ≥1，∴sinθ=1．‎ 从而a=，‎ ‎∴f（x）=x3+x2﹣2x+c，而又由f（1）=得c=．‎ ‎∴f（x）=3x3+2x2﹣2x+3即为所求．‎ ‎（2）由f′（x）=x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣2）及（1，+∞）上均为增函数，在（﹣2，1）上为减函数．‎ ‎①当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增，故f（x）max=f（m+3），f（x）min=f（m）‎ 由f（m+3）﹣f（m）=3（m+3）3+2（m+3）2﹣2（m+3）﹣3m3﹣2m2+2m=3m2+12m+2≤2，‎ 得﹣5≤m≤1．这与条件矛盾，故 不存在．‎ ‎②当0≤m≤1时，f（x）在[m，1]上递增，在[1，m+3]上递增 ‎∴f（x）min=f（1），f（x）max=max{ f（m），f（m+3）}，‎ 又f（m+3）﹣f（m）=3m2+12m+2=3（m+2）2﹣2＞0（0≤m≤1）‎ ‎∴f（x）max=f（m+3）‎ ‎∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=f（m+3）﹣f（1）≤f（4）﹣f（1）=2恒成立．‎ 故当0≤m≤1时，原不等式恒成立．‎ 综上，存在m∈[0，1]合题意 ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是利用|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，属于中档题．‎