数学理卷·2018届云南省昆明一中高三上学期第一次摸底测试数学（理）试题（解析版）

数学理卷·2018届云南省昆明一中高三上学期第一次摸底测试数学（理）试题（解析版）

昆明第一中学 2018 届高中新课标高三第一次摸底测试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】集合集合 ，故选 B. 2. 如图，正方形 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 已知 （其中是虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 , ，故选 C. 4. 设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若 ， 因为函数的图象关于直线 对称，所以 若 ， 因为函数的图象关于直线 对称， 所以 （与前提条件矛盾） 所以 故选择 A 小提示：涉及绝对值的问题，一般都是将每个绝对值的零点作为分界点，进行讨论。 5. 二项式 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】展开式的通项为 ，令 得 ，所以展 开式中的常数项为 ，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的 问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命 题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一 项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6. 设数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 成等差数列，所以 ，当 时， ；当 时， ，即 ，即 ， 数列 是首项 ，公比 的等比数列， ，故选 B. 7. 执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 ，则判断框中可填入（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算 ， 选 A. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 8. 设 为正数，且 ，当 时， 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令 ，则 ，由 得 ，故选 C. 9. 一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯 视图均为边长等于 的正方形，这个几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由三视图可知，该几何体是棱长为 的正方形的内部挖去一个底面为边长为 的正四棱锥， 将三视图还原可得如图，可得其表面积为， ， 故选 D. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力， 属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将 其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”， 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 10. 已知函数 （ ），且 ，当 取最小值时， 以下命题中假命题是（ ） A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 是函数 的一个零点 C. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 D. 函数 在 上是增函数 【答案】C 【解析】 ， 由 得 ，即 ，由 知 的最小值是 2，当 取得 最小值时， .由 可得出：函数 的图象关于直线 对 称，A 为真； 由 可得出： 是函数 的一个零点，B 为真； 将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象，所 以 C 为假； 由复合函数单调性可得 在 上是增函数，所以 D 为真，选 C. 【点睛】函数 的性质 (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由 求增区间; 由 求减区间 11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为，点 ，线段 交抛物线 于点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由已知 为 的三等分，作 于 ，如图，则 ， ，故选 B. 12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 中的 为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 有 ，解得 ，故 ，又 ，于是 ，因此数 列 是以 为首项，公比为 的等比数列，得 ，于是 ，因此数列 是以 为首项， 为公 差的等差数列，解得 ， ， 故选 B. 【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题. 由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法， 已知数列前 项和与 第 项关系，求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项 和的递推关系或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或 等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利 用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况.，进而得出 的通项公式. 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 ， ， ，则 __________． 【答案】 【解析】由 可得 ， ，即 ， ，故答案为 . 14. 若实数 满足不等式组 ，则 的最大值为__________． 【答案】 【解析】 画出不等式组 所表示的可行域，如图，由图知平移直线 ，当直 线经过点 时，直线在 轴上的截距 最大，即 在点 处取得最大值 ，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15. 已知双曲线 的中心为坐标原点，点 是双曲线 的一个焦点，过点 作渐近线的垂 线，垂足为 ，直线交 轴于点 ，若 ，则双曲线 的方程为__________． 【答案】 【解析】设双曲线 的方程为: ，由已知得：由点到直线的距离公式可得 由 及勾股定理可得 ，又因为 与渐近线垂直， 结合 可得 双曲线 的方程： ，故 答案为 . 16. 体积为 的正三棱锥 的每个顶点都在半径为 的球 的球面上，球心 在此 三棱锥内部，且 ，点 为线段 的中点，过点 作球 的截面，则所得截面圆面 积的最小值是_________． 【答案】 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 在 中， 分别是角 的对边，且 ， （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）由余弦定理利用 可得由 ， ，再由正弦定理可得 ，从而可得 ，再利用三角形内角和定 理、诱导公式、及两角和的正弦公式可得 的值；（2）由 及 可得出 ， 利用（1）的结论以及三角形面积公式可得结果. 试题解析：（1）由 得出： ， 由 及正弦定理可得出： ，所以 ， 再由 知 ，所以 为锐角， ， 所以 （2）由 及 可得出 ， 所以 . 18. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 分别为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】试题分析：（1）连接 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，可得 为 △ 的一条中位线， ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用勾股定理证明 ，由题意 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，分别求出 平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果； 试题解析：（1）证明：连接 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，所以 为 △ 的一条中位线， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）设 ，则 ， ， ， 由 ，得 ，解得 ， 由题意以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系. 可得 ， ， ， ， 故 ， ， ， ， 设 为平面 的一个法向量，则 ，得 ，同理可得平面 的一个法向量为 ， 设二面角 的平面角为 ， ， ， 所以，二面角 的余弦值为 . 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空 间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2） 写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂 直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理 结论求出相应的角和距离. 19. 某市为了解本市 万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现 其成绩服从正态分布 ，现从某校随机抽取了 名学生，将所得成绩整理后，绘制 出如图所示的频率分布直方图. （1）估算该校 名学生成绩的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求这 名学生成绩在 内的人数； （3）现从该校 名考生成绩在 的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高 到低）在全市前 名的人数记为 ，求 的分布列和数学期望. 参考数据：若 ，则 ， 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】试题分析：（1）直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即 可得到该校 名学生成绩的平均值；（2）求出直方图中最后两个矩形的面积之和与总人数 相乘即可求出这 名学生成绩在 内的人数；（3） 的所有可能取值为 分 别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：（1） （2） . （3） ，则 . . 所以该市前 名的学生听写考试成绩在 分以上. 上述 名考生成绩中 分以上的有 人. 随机变量 .于是 ， ， . 的分布列： 数学期望 . 20. 已知动点 满足： . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设过点 的直线与曲线 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 （点 与点 不 重合），证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标. 【答案】（1） ；（2）直线过定点 ，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）动点 到点 ， 的距离之和为 ，且 ， 所以动点 的轨迹为椭圆，从而可求动点 的轨迹 的方程；（2）直线的方程为： ， 由 得 ，，根据韦达定理可得 ，直线 的方程为 ，即可证明其过定点. 试题解析：（1）由已知，动点 到点 ， 的距离之和为 ， 且 ，所以动点 的轨迹为椭圆，而 ， ，所以 ， 所以，动点 的轨迹 的方程： . （2）设 ， ，则 ，由已知得直线的斜率存在，设斜率为 ，则直 线的方程为： 由 得 ， 所以 ， ， 直线 的方程为： ，所以 ， 令 ，则 ， 所以直线 与 轴交于定点 . 21. 已知函数 ， ，（其中 ， 为自然对数的底数， ……）. （1）令 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的值； （2）在（1）的条件下，设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最 小值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）由 对任意的 恒成立，即 ，利用导数讨 论函数的单调性，求出最小值，即可得到实数 的值；（2）由（1）知 ，即 ， 令 （ ， ）则 ，所以 ，令 ，求和后利用放缩法可得 ， 从而可得 的最小值. 所以 ，. 试题解析：（1）因为 所以 ， 由 对任意的 恒成立，即 ， 由 ， （i）当 时， ， 的单调递增区间为 ， 所以 时， ， 所以不满足题意. (ii)当 时，由 ，得 时， ， 时， ， 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 的最小值为 . 设 ，所以 ，① 因为 令 得 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 ，② 由①②得 ，则 . （2）由（1）知 ，即 ， 令 （ ， ）则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 的最小值为 . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 极坐标系中， 为极点，半径为 的圆 的圆心坐标为 . （1）求圆 的极坐标方程； （2）设直角坐标系的原点与极点 重合， 轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为 （为参数），由直线上的点向圆 引切线，求线线长的最小值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）先确定圆心直角坐标，再写出圆的标准方程，最后将直角坐标方程 化为极坐标方程（2）先根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，再根据圆的几何 意义得切线长最小时，直线上的点与圆心连线垂直直线，最后根据点到直线距离公式以及切 线长公式求切线长最小值 试题解析：解：（Ⅰ）设 是圆上任意一点， 如图，连接 ，并延长与圆 交于点 ， 当点 异于 ， 时，连接 、 ， 直角 △ 中， ， 即 ， 当点 与 ， 重合时，也满足上式，所求圆 的极坐标方程为 . （Ⅱ）直线的普通方程为 ，圆心 到直线的距离为 ， ，所以直线与圆 相离， 故切线长的最小值为 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 解集非空，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后 求并集（2）根据绝对值三角不等式得 的最小值为 ，再解一元二次不等式得实数 的 取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）由 可化为： 或 或 解得： 或 或 ，所以，不等式解集为 . （Ⅱ）因为 所以 ，即 的最小值为 ， 要不等式 解集非空，需 ， 从而 ，解得 或 ， 所以 的取值范围为 . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用，这是命题的新动向．