2018-2019学年湖南省醴陵一中、攸县一中高二上学期期中联考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年湖南省醴陵一中、攸县一中高二上学期期中联考数学（理）试题 Word版

2018-2019 学年湖南省醴陵一中、攸县一中高二上学期期中联考数学（理）试题 总分:150 分 时量：120 分钟 考试时间：11 月 13 日 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若 ，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2.在 中， ， ， ，则 的面积为（ ） A． B．4 C． D． 3.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A．2 B．1 C.0 D．3 4.下列叙述正确的是（ ） A．若 ，则 B．若命题 ，则 C． 是“数列 为等比数列”的充要条件 D． 方程 表示的曲线是椭圆 5．已知数列 是递增的等差数列，满足 ，则数列 前多少项的和最小 （ ） A．4 或 5 B.4 C. 5 D.5 或 6 6. ： 或 ； ： ，则（ ） A． 是 的充分非必要条件 B． 是 的必要非充分条件 C． 是 的充要条件 D． 既不是 的充分条件也不是 的必要条件 7．当 ，关于代数式 ，下列说法正确的是（ ） Ａ．有最大值无最小值 Ｂ．有最小值无最大值 Ｃ．有最小值也有最大值 Ｄ．无最小值也无最大值 8．已知实数 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为( ) A. B. C. 或 D. 或 9.设 是圆 上一动点，点 的坐标为 ，若线段 的垂直平分 线交直线 于点 ，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C. D． 10． 设 为等比数列 的前 项和，且关于 的方程 有两个相等的实根， 则 （ ） A．27 B． C． D． 11．已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ，椭圆 C 上点 A 满足 . 若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 12.已知锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， 则 的面积的取值范围是（ ） A． B． C. D． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.“若 ，则 ”的逆否命题是真命题，则实数 的取值范围是 14．若等比数列 的各项都是正数，且 ，则 ． 15.已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值 为 ． 16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上存在点 P，满足 ，则此椭圆离心率 e 的取值范围为 。 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 ． （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 已 知 命 题 ； 命 题 . 若“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 m 的取值范围. 18．（本小题满分 12 分）在△ABC 中，已知三内角 A，B，C 成等差数列，且 ． （1）求 tanA 及角 B 的值； （2）设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，求 b，c 的值． 19．（本小题满分 12 分）已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，虚 轴长为 ． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点 ，倾斜角为 的直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，求 的面积． 20.（本小题满分 12 分）已知函数 y＝的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 x2－x－a2＋a<0. 21. （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ， ． （1）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； （2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证： ． 22、（本小题满分 12 分）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点坐标为 ，离心率为 e＝ 2 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P、Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，使 MP →· MQ →为 定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 醴陵一中、攸县一中 2018 下期期中高二联考数学（理）试题 总分:150 分 时量：120 分钟 考试时间：11 月 13 日 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若 1a b  ，则下列结论一定成立的是（ A ） A． a ba b B． a b C． 1 1 a b  D． log 1b a  2.在 ABC△ 中， 60A   ， 4AC  ， ，则 ABC△ 的面积为（ C ） A． 4 3 B．4 C． 2 3 D． 3 3.设变量 yx, 满足约束条件       2 2 4 x yx yx ，则目标函数 xyz 2 的最大值为（ B ） A．2 B．1 C.0 D．3 4.下列叙述正确的是（ B ） A．若 0x ，则 21  xx B．若命题 01: 0 2 00  xxRxp ， ，则 01: 2  xxRxp ， C． ”“ acb 2 是“数列 cba ,, 为等比数列”的充要条件 D． 方程  0,0122  nmnymx 表示的曲线是椭圆 5．已知数列 na 是递增的等差数列，满足 1 2 52a a S  ，则数列 na 前多少项的和最小 （ A ） A．4 或 5 B.4 C. 5 D.5 或 6 6. p ： 2x  或 3y  ； q ： 5x y  ，则（ B ） A． p 是 q 的充分非必要条件 B． p 是 q 的必要非充分条件 C． p 是 q 的充要条件 D． p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件 7．当 0a  ，关于代数式 1 2 2 a a ，下列说法正确的是（ A ） Ａ．有最大值无最小值 Ｂ．有最小值无最大值 Ｃ．有最小值也有最大值 Ｄ．无最小值也无最大值 8．已知实数 4, ,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线 2 2 1x ym   的离心率为( C ) A. 30 6 B. 7 C. 30 6 或 7 D. 5 6 或 7 9.设 M 是圆   364: 22  yxP 上一动点，点Q 的坐标为  0,4 ，若线段 MQ的垂直平分 线交直线 PM 于点 N ，则点 N 的轨迹方程为（ D ） A． 1925 22  yx B． 1916 22  yx C. 197 22  yx D． 179 22  yx 10． 设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，且关于 x 的方程 2 1 3 2 0a x a x a   有两个相等的实根， 则 9 3 S S  （ B ） A．27 B． 21 C．14 D． 5 11．已知椭圆 C： 2 2 14 3 x y  的左、右焦点分别为 1 2,F F ，椭圆 C 上点 A 满足 2 2 2AF F F . 若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 1 2F P F A 的最大值为（ A ） A． 3 3 2 B． 9 4 C．15 4 D． 3 2 12.已知锐角 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，若 2a  ， 2 2 4b c bc   ， 则 ABC 的面积的取值范围是（ C ） A． 3( , 3]3 B． (0, 3] C. 2 3( , 3]3 D． 3( , 3)3 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.“若 11  mxm ，则 062  xx ”的逆否命题是真命题，则实数 m 的取值范围 是 .  2,1 14．若等比数列 na 的各项都是正数，且 5 6 4 7 16a a a a  ，则 2 1 2 2 2 10log log loga a a    ．15 15.已知函数    sin 0 1f x x x   ，若 a b ，且    f a f b ，则 4 1 a b  的最小值 为 ．9 16.已知椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，若椭圆上存在点 P，满足 1 2PF e PF  ，则此椭圆离心率 e 的取值范围为 [ 2 1,1) 。 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 、 已 知 命 题 1: (0, ), 1 02 x p x m         ； 命 题 2: (0, ), 4 1 0q x mx x      . 若 “ p q ”为真命题，“ p q ”为假命题，求实数 m 的取值范围. 由“ p q ”为真命题得 4m   或 0m  。 18．在△ABC 中，已知三内角 A，B，C 成等差数列，且 11sin( )2 14A   ． （1）求 tanA 及角 B 的值； （2）设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 5a  ，求 b，c 的值． 18.解：（Ⅰ）∵A，B，C 成等差数列， ∴2B=A+C， 又 A+B+C=π， 则 B= 3  ， ∴tanA= 5 3 11 ； （Ⅱ）由正弦定理可得 b=7， 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA， 即 25=49+c2-11c， 解得 c=3 或 c=8， ∵C＞ 3  ， ∴c=3 舍去， 故 c=8． 19．（本小题满分 10 分）已知双曲线C ： 12 2 2 2  b y a x （ 0,0  ba ）的离心率为 5 ，虚 轴长为 4 ． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点  0,1 ，倾斜角为 045 的直线 l 与双曲线 C 相交于 ,A B 两点， O 为坐标原点，求 OAB 的面积． 【答案】（1） 2 2 14 yx   ;（2） 4 3OABS  . 【解析】(1)依题意可得 2 2 2 5 2 4 c a b c a b         ，解得 1, 2, 5a b c   ， ∴双曲线的标准方程为 2 2 14 yx   ． (2) 直 线 l 的 方 程 为 1y x  ， 设  1 1,A x y 、  2 2,B x y ， 由 2 2 1, 4 4, y x x y      可 得 23 2 5 0x x   ， 由韦达定理可得 1 2 2 3x x  ， 1 2 5 3x x   ， 则  22 1 2 1 2 4 20 8 21 4 2 .9 3 3AB k x x x x         原点到直线l 的距离为 2 2d  ，于是 1 1 8 2 2 4 2 2 3 2 3OABS AB d        ， ∴△OAB 的面积为 4 3 . 20.（12 分）已知函数 y＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 x2－x－a2＋a<0. [解] (1)因为函数 y＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R，所以 ax2＋2ax＋1≥0，恒成立． ①当 a＝0 时，1≥0 恒成立； ②当 a≠0 时，则 a>0， Δ＝4a2－4a≤0， 解得 0a， 即 0≤a<1 2 时， ab>0)， 由已知得 a－c＝ 2－1， c a ＝ 2 2 ， 解得 a＝ 2， c＝1. 所以 b2＝a2－c2＝1.所以椭圆 E 的方程为x2 2 ＋y2＝1. （4 分） (2)假设存在符合条件的点 M(m,0)， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则MP→＝(x1－m，y1)，MQ→＝(x2－m，y2)，MP→·MQ→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋ y1y2. （6 分） ①当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 由 x2 2 ＋y2＝1， y＝k(x－1)， 得 x2＋2k2(x－1)2－2＝0， 即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 则 x1＋x2＝ 4k2 2k2＋1 ，x1x2＝2k2－2 2k2＋1 ， y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝－ k2 2k2＋1 ， （8 分） 所以MP→·MQ→＝2k2－2 2k2＋1 －m· 4k2 2k2＋1 ＋m2－ k2 2k2＋1 ＝(2m2－4m＋1)k2＋(m2－2) 2k2＋1 . 因为对于任意的 k 值，MP→·MQ→为定值， 所以 2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得 m＝5 4 . 所以 M 5 4 ，0 ，此时，MP→·MQ→＝－ 7 16 . （11 分） ②当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝1， 则 x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－1 2 ， 由 m＝5 4 ，得MP→·MQ→＝－ 7 16 . 综上，符合条件的点 M 存在，且坐标为 5 4 ，0 . （12 分）