2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二12月月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二12月月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是(　 　)‎ A． (0，1) B． (1，0) C． (，0) D． (0，)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知 ‎ ‎∴焦点坐标为(0，)‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的性质．属基础题．‎ ‎2．若命题 ： ， ,则命题 的否定是（ ）‎ A． ， B． ， ‎ C． ， D． ， ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题的否定，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否定是 ， .‎ 故答案为：C.‎ ‎3．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则(　 　)‎ A． p∨q为假命题 B． q为假命题 C． q为真命题 D． (¬p)∧(¬q)为真命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题“p∧(¬q)”为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 命题“p∧(¬q)”为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,则q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎4．有下列三个命题:‎ ‎①“若,则互为相反数”的逆命题;‎ ‎②“若,则”的逆否命题;‎ ‎③“若,则”的否命题.‎ 其中真命题的个数是(　 　).‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。‎ ‎【详解】‎ ‎①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则 ‎，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假。‎ ‎5．“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：左边： ， ，则， ，即 右边：， ，则。所以，即 ，又因为，所以是的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：1、充要条件；2、对数不等式与指数不等式的解法.‎ ‎6．曲线与的关系是(　 )‎ A． 有相等的焦距，相同的焦点 B． 有相等的焦距，不同的焦点 C． 有不等的焦距，不同的焦点 D． 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个椭圆的焦点坐标与焦距的大小即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 曲线与0＜k＜9）都是椭圆方程，焦距为：2c=8，2‎ ‎ =8，焦距相等，的焦点坐标在x轴，的焦点坐标在y轴，故两者的焦点不同.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．注意和椭圆方程有关的题目，通常会应用到注意.‎ ‎7．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　 　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知，,2成等差数列,得到，化简得到。‎ ‎【详解】‎ 已知，,2成等差数列,得到，化简得到 ‎ 可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.‎ ‎8．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．‎ 已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，‎ 可得a2﹣c2≥c2，可得：a．‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ ‎9．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为（ ）‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1‎ ‎）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出=为定值．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆，得椭圆的右焦点为F（1，0），‎ 当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，‎ 则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，‎ 则=；‎ 当直线AB的斜率存在时，‎ 设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣（x﹣1）．‎ 又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立方程组，‎ 消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴|AB|===，‎ 由题知，直线CD的斜率为﹣，‎ 同理可得|CD|=．‎ ‎∴=为定值．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定值的证明，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，难度较大．‎ ‎10．当双曲线的离心率取得最小值时， 的渐近线方程为（ ）‎ A． B. C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，当且仅当，即时等号成立。此时双曲线的方程为，所以渐近线方程为 ‎。选A。‎ ‎11．过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。‎ 由得，所以，整理得。选A。‎ ‎12．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为(　　)‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，‎ 设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．‎ ‎【详解】‎ 由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，‎ 解得或，‎ 则A（0，2），B（﹣1，0），‎ ‎∴AB==，‎ ‎∵△PAB的面积为﹣1，‎ ‎∴AB边上的高为h==．‎ 设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，‎ P到直线y=2x+2的距离d==，‎ 即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；‎ 联立得：①或②，‎ ‎①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，‎ ‎∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；‎ 由②消去b得：2a2+2a+1=0，‎ ‎∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．‎ 综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“若则”的逆否命题是______________.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．‎ ‎【详解】‎ ‎∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．‎ ‎∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．‎ 故答案为：若，则．‎ ‎【点睛】‎ 题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．‎ ‎14．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题， 的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题的逆命题：若，则，故 命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则， ‎ 则实数的取值范围是 ‎15．如果直线l：x+y﹣b=0与曲线有两个公共点, 那么的取值范围是_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图象，当直线l经过点A，B时，求出b的值；当直线l与曲线相切时，求出b即可．‎ ‎【详解】‎ 画出图象，当直线l经过点A，B时，b=1，此时直线l与曲线有两个公共点；‎ 当直线l与曲线相切时，b=．‎ 因此当1≤b＜时，直线l：x+y﹣b=0与曲线有两个公共点．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出直线l与曲线C有公共点，求参数b的范围．正确求出直线与圆相切时的b的值是解题的关键．‎ ‎16．设分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，当且仅当三点共线时取等号，故答案为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求适合下列条件的双曲线的方程：‎ ‎(1) 虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2) 焦点在x轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出双曲线的标准方程，根据题干得到2b=12,e=,再由c2＝a2＋b2得到a,b,c的值，进而得到方程；（2）设出以为渐近线的双曲线方程，根据顶点的距离得到参数值，进而得到方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).‎ 由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，‎ ‎∴b＝6，c＝10，a＝8，‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.‎ ‎ (2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ>0).‎ a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1‎ ‎【点睛】‎ 求双曲线的方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用.‎ ‎18．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”, 命题q：“∃∈R，+2a+2﹣a=0”，若命题是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出命题p，q成立的等价条件，然后取交集即可得到实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：为真命题，，都为真命题.‎ 命题为真命题，即当时，恒成立，.‎ 命题为真命题，即方程有实根，‎ ‎，‎ 或.‎ 综上，得或，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎19．M={x|＞0}，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题P：x∈M，命题q：x∈N．‎ ‎(1)当a=﹣6时，若“p且q“为真命题，求x的范围；‎ ‎(2) 若¬q是¬p的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当a=﹣6时，N={x|6≤x≤8}．由“p且q“为真命题，则，解得x范围．‎ ‎（2）由命题p是命题q的一个必要不充分条件，可知N是M的真子集．对a分类讨论即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，．‎ ‎（1）当时，．‎ 若“且”为真命题，则 ‎ ‎ ‎ ‎（2）当时，，‎ 由命题是命题的必要但不充分条件，可知是的真子集，‎ 当时，，要使是的真子集，须，即． ‎ 当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件． ‎ 因此，的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎20．若F1，F2是双曲线的两个焦点 ‎ (1)若双曲线上一点M到左焦点F1的距离等于7，求点M到右焦点F2的距离； ‎ ‎ (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的定义解答；‎ ‎（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2 的值进而求得∠F1PF2从而得到三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，‎ 又双曲线上一点M到它左焦点的距离等于7，假设点M到右焦点的距离等于x，‎ 则|7－x|＝6，解得x＝1或x＝13.‎ 由于c－a＝5－3＝2,1<2,13>2，‎ 故点M到另一个焦点的距离为13.‎ ‎(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得 ‎|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，‎ ‎∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.‎ 在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝‎ ‎＝＝0，‎ ‎∴∠F1PF2＝90°，‎ ‎∴△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×32＝16.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的定义以及性质的运用，考查了余弦定理，属于中档题．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，根据离心率为可得，故可得到C的方程。（2）由为线段的中点。设，当时，由“点差法”可得直线的斜率为，从而直线的方程可求得为 ‎，过定点；当时，过点。故可得直线过点。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，‎ 又椭圆的离心率为，所以，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为直线的方程为，设 ，‎ ‎①当时，设，显然，‎ 由可得，即,‎ 又，所以为线段的中点，‎ 故直线的斜率为，‎ 又，‎ 所以直线的方程为 即，显然恒过定点，‎ ‎②当时，过点，‎ 综上可得直线过定点.‎ 点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎22．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.‎ ‎（1）若的坐标为，求的值；‎ ‎（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为可得，从而得到抛物线的方程，然后设出切线切线的方程为，由求得，由切点在抛物线上可得到，即为所求。（2）由（1）得到以线段为直径的圆为圆。由题意只需考虑斜率为正数的直线即可，根据几何知识得，故的方程为，由弦长公式可得，又，所以，最后根据可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，‎ 则抛物线的方程为.‎ 设切线的方程为，代入得，‎ 由得，‎ 当时，点的横坐标为，‎ 则，‎ 当时，同理可得.‎ 综上得。‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以以线段为直径的圆为圆，‎ 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，‎ 因为为直线与圆的切点，‎ 所以， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以直线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 因为直线与圆相交，所以。‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设，因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 点睛：‎ ‎（1）求抛物线的切线和弦长问题可用代数法求解，注意联立消元后判别式在解题中的应用。另外，解决解析几何问题还要注意平面几何知识的应用。‎ ‎（2）圆锥曲线中的范围问题，解决时可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎