数学文卷·2018届北京市人大附中高三第二次模拟考试（2018

数学文卷·2018届北京市人大附中高三第二次模拟考试（2018

人大附中2018届高三第二次模拟考试卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·菏泽期末]已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．[2018·武邑中学]设为锐角，，，若与共线，则角（ ）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎3．[2018·丹东期末]下列函数为奇函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2018·渭南质检]如图，执行所示的算法框图，则输出的值是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2018·吉林实验中学]函数的部分图像如下图，且，则图中的值为（ ）‎ ‎ ‎ A．1 B． C．2 D．或2‎ ‎6．[2018·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）‎ A．10步，50步 B．20步，60步 C．30步，70步 D．40步，80步 ‎7．[2018·育才中学]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎8．[2018·嵊州期末]若实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·天津期末]在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，，则等于（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10．[2018·衡水金卷]若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”．若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．6‎ ‎11．[2018·乌鲁木齐一模]已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，且为的中点，则的值为（ ）‎ A．3 B．2或4 C．4 D．2‎ ‎12．[2018·江西联考]已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·淮安一模]已知集合，，则________．‎ ‎14．[2018·孝感八校]将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则__________．‎ ‎15．[2018·淮南一模]过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是________．‎ ‎16．[2018·乐山期末]如图，在三棱锥中，、、分别为、、中点，且，，则异面直线与所成的角的大小为_________．‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·达州期末]已知是数列的前项和，，．‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）若等比数列的前两项分別为，求的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·濮阳一模]进入12月以业，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的列联表：‎ 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 有私家车 ‎70‎ ‎40‎ ‎110‎ 合计 ‎160‎ ‎60‎ ‎220‎ ‎（1）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；‎ ‎（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·菏泽期末]如图所示，在四棱锥中，，都是等边三角形，平面平面，且，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）是上一点，当平面时，三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·乌鲁木齐一模]已知椭圆的焦距为2，且过点 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·陕西一模]已知函数，．‎ ‎（1）求函数的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）若不等式对任意的均成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·武邑中学]选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·佛山质检]已知函数，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 文科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】由题意，，对应点为，在第四象限，故选D．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】由题意，，又为锐角，∴．故选B．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】和非奇非偶函数，是偶函数，是奇函数，故选D．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】按照图示得到循环一次如下：，；，；，； ，；，；，；，；，；，．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由题意可得，，又，∴，‎ 又，‎ ‎∴或，，‎ 由周期，得，∴，故选：B．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得 ‎，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥，该几何体的体积为：．本题选择D选项．‎ ‎ ‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是，故选D．‎ ‎ ‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】∵，且，，‎ ‎∴由正弦定理可得：，由于，可得：，‎ ‎∴由余弦定理，可得：，‎ 可得：，∴解得：，或（舍去）．故选：C．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】当时，，故函数在区间，上递减，在上递增，故在处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即，．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】设，，，‎ 两式相减得，，‎ 为的中点，，，代入，‎ 解得或4，故选B．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由题可知，故，‎ ‎∵函数恰有4个零点，‎ ‎∴方程有4个不同的实数根，‎ 即函数与函数的图象恰有4个不同的交点．‎ 又，‎ 在坐标系内画出函数函数的图象，其中点，‎ 的坐标分别为，．‎ ‎ ‎ 由图象可得，当时，函数与函数的图象恰有4个不同的交点，故实数b的取值范围是．选B．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】，向右平移个单位后得到函数，函数的最小正周期是，那么，故填：．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】设，得，即，所以点的运动轨迹是直线，所以，则．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由三角形中位线的性质可知：，，则或其补角即为所求，由几何关系有：，由余弦定理可得：，则，据此有：异面直线与所成的角的大小为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1）见解析．（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：当时，‎ ‎···········3分 ‎，···········5分 ‎．···········6分 ‎（2）解：由（1）知，，···········7分 ‎，···········8分 等比数列的公比，···········9分 又，···········10分 ‎．···········12分 ‎18．【答案】（1）在犯错误概率不超过的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关；（2）0.8．‎ ‎【解析】（1）．···········4分 所以在犯错误概率不超过的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关．···········6分 ‎（2）设从没有私家车的人中抽取人，从有私家车的人中抽取人，‎ 由分层抽样的定义可知，解得，···········7分 在抽取的6人中，没有私家车的2人记为，有私家车的4人记为，，，，则所有的基本事件如下：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种．···········9分 其中至少有1人没有私家车的情况有16种．···········11分 记事件为“至少有1人没有私家车”，则．···········12分 ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）6．‎ ‎【解析】（1）因为，，，‎ 所以，所以，，又因为是等边三角形，所以，所以，·······2分 因为平面平面，‎ 平面平面，‎ 所以平面，···········4分 因为平面，所以平面．···········6分 ‎（2）过点作交于，过点作交于，‎ 因为，平面，平面，所以平面，‎ 同理可得平面，所以平面平面，···········7分 因为平面，所以平面．‎ 因为，所以，在直角三角形中，，，‎ 所以，所以，···········9分 在平面内过作于，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 所以是点到平面的距离，···········10分 过点作于，则，‎ 由，得，所以，‎ 因为，所以．······12分 ‎ ‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意，有，···········3分 ‎∴椭圆方程．···········4分 ‎（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，‎ 由得，···········5分 ‎∴，得，···········6分 设，，，则，‎ 由得，···········7分 代入椭圆方程得，···········8分 由得，···········9分 ‎∴，···········10分 令，则，∴．···········12分 ‎21．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴．···········1分 又由，···········2分 得所求切线：，即所求切线为．···········4分 ‎（2）设，则，‎ 令，得，···········5分 得下表：‎ ‎1‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴，即．···········8分 ‎（3），，．‎ ‎（i）当时，；···········9分 ‎（ii）当时，，不满足不等式；···········10分 ‎（iii）当时，设，，‎ 令，得下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎∴，即不满足等式．‎ 综上，．···········12分 ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 故直线的普通方程为，···········2分 由，得，所以，即，‎ 故曲线的普通方程为；···········5分 ‎（2）据题意设点，‎ 则，···········8分 所以的取值范围是．···········10分 ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），···········1分 若，则，得，即时恒成立，···········2分 若，则，得，即，···········3分 若，则，得，即不等式无解，···········4分 综上所述，的取值范围是．···········5分 ‎（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，‎ 当时，，，······7分 因为，‎ 所以当时，，·····9分 即，解得，结合，所以的取值范围是．·····10分 ‎ ‎ ‎ ‎