2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第10章 第2节　排列与组合

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第10章 第2节　排列与组合

第二节　排列与组合 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．‎ ‎(对应学生用书第170页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．排列、组合的定义 排列的定义　‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义　‎ 合成一组 ‎2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定 义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 公 式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性 质 A＝n！，‎ ‎0！＝1‎ C＝C，‎ C＋C＝C ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)‎ ‎(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)‎ ‎(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)‎ ‎(4)kC＝nC.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言(　　)‎ A．1 560条 B．780条　　C．1 600条　　D．800条 A　[由题意，得毕业留言共A＝1 560条．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 D　[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．‎ 故选D．]‎ ‎4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．56 ‎ C．49 D．28‎ C　[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，‎ 甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，‎ 由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49种选法．‎ 法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，‎ 其中甲、乙均不入选有C种方法，‎ 所以满足条件的选排方法有C－C＝84－35＝49种．]‎ ‎5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．‎ ‎60　[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，‎ 所以满足条件的不同排法共A＝60种．]‎ ‎(对应学生用书第171页)‎ 排列问题 ‎　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．‎ ‎(1)选5人排成一排；‎ ‎(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；‎ ‎(4)全体排成一排，女生必须站在一起；‎ ‎(5)全体排成一排，男生互不相邻．‎ ‎[解]　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．‎ ‎(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)．‎ ‎(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．‎ 法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．‎ ‎(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．‎ ‎(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．‎ ‎[规律方法]　求解排列应用问题的六种常用方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 ‎[跟踪训练 ‎]　(1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有(　　)‎ A．34种　　　　　　 B．48种 C．96种 D．144种 ‎(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．‎ ‎(1)C　(2)36　[(1)程序A的顺序有A＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA＝48种结果，‎ 由分步乘法计数原理，试验编排共有2×48＝96种方法．‎ ‎(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法．]‎ 组合问题 ‎　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎(1)只有一名女生当选；‎ ‎(2)两队长当选；‎ ‎(3)至少有一名队长当选；‎ ‎(4)至多有两名女生当选．‎ ‎[解]　(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C·C＝350种．‎ ‎(2)两队长当选，共有C·C＝165种．‎ ‎(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C·C＋C·C＝825种．(或采用排除法：C－C＝825(种))．‎ ‎(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C·C＋C·C＋C＝966种．‎ ‎[规律方法]　组合问题的常见类型与处理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.‎ (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有(　　) ‎ ‎【导学号：79140342】‎ A．6 B．12‎ C．18 D．24‎ ‎(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎(1)C　(2)D　[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C 种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有CC种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有CC种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有CC＋CC＝18种不同的选考方法，故选C．‎ 法二：依题意，考生共有C－2C＝18种不同的选考方法，故选C．‎ ‎(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，‎ 所以不同的取法共有C＋C＋CC＝66种．]‎ 排列与组合的综合应用 ‎　(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)‎ A．300 B．216‎ C．180 D．162‎ ‎(2)(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　)‎ A．240种 B．180种 C．150种 D．540种 ‎(1)C　(2)C　‎ ‎[(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CCA＝72个没有重复数字的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CC(A－A)＝108个没有重复数字的四位数．‎ 根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．‎ ‎(2)5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．‎ 当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法．‎ 由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]‎ ‎[规律方法]　1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.‎ 当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.‎ ‎2.(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.‎ (2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(东北三省四市模拟(一))哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　　) ‎ ‎【导学号：79140343】‎ A．40 B．60‎ C．120 D．240‎ ‎(2)(2017·浙江高考)‎ 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ ‎(1)B　(2)660　[从五个不同部门选取两个部门有C种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有CC种方法，所以不同的安排方案有CCC＝60种，故选B．‎ ‎(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CCA＝480(种)选法．‎ 有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．‎ 法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，‎ 而没有女生的选法有AC种，‎ 故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．]‎