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文档介绍
专题6-1 数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学(理)(解析版)
www.ks5u.com 2017年高考备考之 3年高考2年模拟1年原创 【三年高考】 1. 【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= . 【答案】 2. 【2016高考山东理数】已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列,且 (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)令 求数列的前n项和Tn. 【解析】(Ⅰ)由题意知当时,,当时,,所以.设数列的公差为,由,即,可解得,所以. 3.【2016高考江苏卷】记.对数列和的子集T,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,. (1)求数列的通项公式; (2)对任意正整数,若,求证:; (3)设,求证:. 【解析】(1)由已知得.于是当时,.又,故,即.所以数列的通项公式为. (2)因为,,所以.因此,. (3)下面分三种情况证明.①若是的子集,则. ②若是的子集,则. ③若不是的子集,且不是的子集.令,则,,. 于是,,进而由,得.设是中的最大数,为中的最大数,则.由(2)知,,于是,所以,即.又,故,从而, 故,所以,即.综合①②③得,. 4.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等差中项. (Ⅰ)设,求证:是等差数列; (Ⅱ)设 ,求证: 5. 【2015高考新课标2,理16】设是数列的前n项和,且,,则________. 【答案】 【解析】由已知得,两边同时除以,得 ,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以. 6.【2015江苏高考,11】数列满足,且(),则数列的前10项和为 【答案】 【解析】由题意得:,所以 7. 【2015高考新课标1,理17】为数列{}的前项和.已知>0,=. (Ⅰ)求{}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{}的前项和. 8.【2015高考山东,理18】设数列的前n项和为.已知. (I)求的通项公式; (II)若数列满足,求的前n项和. 【解析】(I)因为 ,所以, ,故 当 时, 此时, 即 所以, (II)因为 ,所以 ,当 时, ,所以 当 时, ,所以,两式相减,得 ,所以,经检验, 时也适合, 综上可得: 9.【2015高考重庆,理22】在数列中, (1)若求数列的通项公式; (2)若证明: 10.【2014高考广东理第19题】设数列的前项和为,满足,,且. (1)求、、的值; (2)求数列的通项公式. 11.【2014高考湖南理第20题】已知数列满足,. (1)若为递增数列,且成等差数列,求的值; (2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式. 【解析】 (1)因为数列为递增数列,所以,则,分别令可得,因为成等差数列,所以或, 当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以. (2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为 12.【2014高考全国1第17题】已知数列的前项和为,,,,其中为常数, (I)证明:; (II)是否存在,使得为等差数列?并说明理由. 【解析】(I)由题设,,.两式相减得,. 由于,所以. 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查,主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法,往往与函数、方程、不等式等知识建立联系,高考中一般会以各种形式考查. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查,要深刻体会数列不光体现一种递推关系,它具有函数特征,故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察,一般会以等差数列和等比数列具体形式出现,或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出,同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用.对数列求和的考察,要掌握常见的数列求和方法(直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法),往往会和不等式建立联系,会牵涉到放缩法,难度会大点,注意等价转换思想的活用.这部分试题难度属中低档的题目,小题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前n项和公式为载体,结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想,要注重通性、通法;解答题“大而全”,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.由于连续两年大题没涉及数列,故预测2017年高考将以等差数列,等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点,特别是错位相减法求和问题,重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力. 【2017年高考考点定位】 高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式:一是考察数列的概念与表示;二是数列通项公式;三是数列求和;其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系. 【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】 1.定义:按照一定顺序排列着的一列数. 2.表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法. 3.分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列. 4.与的关系:. 5.处理方法:.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】 1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数,故数列具有函数的特征(周期性、单调性等). 2. 观察法是解决数列问题的法宝,先根据特殊的几项,找出共同的规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看 “各项与项数n的关系”,从而确定数列的通项公式. 【考点针对训练】 1. 【2016年4月河南八市高三质检卷】已知,观察下列算式:;,…;若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意:;,…;…;据此可知,,则的值为 2.数列的一个通项公式是 A. B. C. D. 【答案】C. 【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】 在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.数列通项公式的求解常用方法:1、定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.2、公式法, 若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解.3、由递推式求数列通项法,对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.4、待定系数法(构造法),求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法. 【规律方法技巧】 数列的通项的求法: ⑴公式法: ①等差数列通项公式; ②等比数列通项公式.⑵已知(即)求,用作差法:. ⑶已知求,用作商法:. ⑷若求用累加法:. ⑸已知求,用累乘法:.⑹已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列).特别地,(1)形如、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.如(21)已知,求;(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项. 注意:(1)用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(,当时,);(2)一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解. (3)由与的关系,可以先求,再求,或者先转化为项与项的递推关系,再求. 【考点针对训练】 1. 【2016届榆林市高三二模】在数列中,,则的值为( ) A. B.5 C. D.以上都不对 【答案】C 2. 【2016湖北省八校高三.二联】数列满足,,且,记为数列的前项和,则= . 【答案】 【解析】由得,,所以数列是以为公差的等差数列,且,所以,,,所以 【考点3】数列求和 【备考知识梳理】 数列的求和也是高考中的热点内容,考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和,体现了化归的思想方法,其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点.估计在以后的高考中不会有太大的改变.数列求和的常用方法,尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和,数列求和的基本方法:基本公式法:等差数列求和公式: 等比数列求和公式: . 错位相消法:一般适应于数列的前向求和,其中成等差数列,成等比数列. 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和. 拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有:若是公差为的等差数列,则; ;;;. 5.倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的. 【规律方法技巧】 数列求和关键是研究数列通项公式,根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式,若数列是等差数列或等比数列,直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,利用错位相减法;若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消,利用裂项相消法,从近年的考题来看,逐渐加大了与函数不等式的联系,通过对通项公式进行放缩,放缩为易求和的数列问题处理. 【考点针对训练】 1. 【2016年江西九江高三第三次联考】设是等差数列的前项和,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由成等差数列,得,即,故选C. 2. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数且,在各项为正的数列中,的前项和为,若,则____________. 【答案】6 【应试技巧点拨】 1. 由递推关系求数列的通项公式 (1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式 此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法;递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为(其中p,q均为常数,).把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和 在数列求和问题中,由于题目的千变万化,使得不少同学一筹莫展,方法老师也介绍过,就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”:就是抓住数列的通项公式的特征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能对号入座,得到求和方法. 特征一:,数列的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”. 特征二:,数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错位相减法”. 特征三:,数列的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”. 特征四:,数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采用“倒序相加法”. 4. 利用转化,解决递推公式为与的关系式. 数列{}的前项和与通项的关系:.通过纽带:,根据题目求解特点,消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉,利用已知递推式,把n换成(n+1)得到递推式,两式相减即可.若消掉,只需把带入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式成立的条件 5.由递推关系求数列的通项公式 (1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式 此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法;递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为(其中p,q均为常数,).把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解. 1. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列满足,对任意的都有 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】若数列{}满足-=d (n∈N﹡,d为常数),则称数列{}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=( ) A.10 B.20 C.30 D.40 【答案】B 【解析】由题意知(常数),所以数列是以为首项,为公差的等差数列,则有,.故选B. 3. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列满足:,且对任意的,都有,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,则可得,则可猜得,∴,∴,故选D. 4. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列满足,若数列的最小项为,则实数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 5. 【2016年淮北一中高三模考】数列 中,,则此数列的通项公式___________. 【答案】 【解析】由得,所以,又,所以是等比数列,所以,即. 6. 【2016年河北石家庄高三二模】数列满足:,则数列前项的和为______. 【答案】 7. 【2016年江西省南昌市高三一模测试】数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+Sn一1=2n-l (n>2),且S2 =3,则a1+a3的值为 。 【答案】 【解析】令,则,则,令,则,,则,所以. 8. 【2016届浙江省义乌市5月模拟】已知数列满足且(). (1)求数列的通项公式; (2)设,且为的前项和,证明:. 9. 【2016届吉林四平一中高三五模】数列的前项和为,,. (1)求数列的通项; (2)求数列的前项和为. 【解析】(1)因为,所以,所以.又因为,所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以.当时,, 所以. (2),当时,, 当时,,① ② ①-②得:,,所以, 又因为也满足上式,所以. 10. 【2016年山西高三四校联考】在等差数列中,,数列的前n项和. (Ⅰ)求数列,的通项公式; (Ⅱ)求数列的前n项和. 11. 【2015届河南省南阳市一中高三三模】数列的前项和为,已知,且任意正整数,都有,若恒成立,则实数的最小值为 . 【答案】 【解析】:∵恒成立,∴,当时,,即, ,当时,. 12.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为,由下往上的六个点:,,,,,的横、纵坐标分别对应数列()的前项,如下表所示: 按如此规律下去,则 . 【答案】1007 13.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】已知数列满足,且,则的整数部分是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】由得 ,因此,又因此,即的整数部分是2,选C. 14.【2015届福建省龙岩市一中高三考前模拟】设数列的前项和为,且,. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列为等差数列,且,公差为.当时,比较与的大小. 15.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】已知数列满足下列条件: , (Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)比较与的大小. 【解析】(Ⅰ)由已知, 所以的通项公式 (Ⅱ) 设 所以即为递增数列. 当时,所以于是,即 易知当时,当时, 【一年原创真预测】 1. 已知数列的前项和满足,,则数列的通项( ) A. B. C. D. 【答案】A 【入选理由】本题考查数列前项和与通项间的关系、等差数列通项公式等基础知识,意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及转化思想的应用.表面看题,似难度重重,认真审题,找出规律,从而可解,难度不大,有一定的技巧,故选此题. 2.已知数列中,,,则( ) A.320 B.160 C.80 D.40 【答案】B 【解析】由,得,则数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,所以,故选B. 【入选理由】本题考查数列递推关系、等比数列通项公式等基础知识,意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及转化思想的应用.递推关系需注意变形方法,此题难度不大,有一定的技巧,故选此题. 3.已知数列的前项和为,.当时,,则 ( ) A.246 B.299 C.247 D.248 【答案】B 【解析】当时,由得,即……① ,所以……②,由②-①得,又即,所以数列构成公差为2的等差数列,从而,故选B. 【入选理由】本题考查数列前项和与通项间的关系、等差数列通项公式等基础知识,意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及转化思想的应用.递推关系是高考考试的重点与难点,有一定的技巧,需加强练习,故选此题. 4.为数列中不超过的项数,且,则正整数A的值为 【答案】或 【入选理由】本题考查等差数列,不等式正整数解等基础知识,意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力.此题看似简单,拿住题又无从下手,细分析后也不是太难,的确是一个好题,故选此题. 5.已知数列的首项,其前项和为,且满足,若对,恒成立,则的取值范围是_______. 【答案】 【入选理由】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识,意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力,以及转化思想的应用.此类题,需认真审题,找出规律,从而可解,难度不大,有一定的技巧,故选此题. 6.已知数列的前项和. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)记,,设数列的前项和为,求. 【解析】当时,,,又时,满足上式, 所以. . . 【入选理由】本题主要考查已知数列前n项和求通项以及分段数列前n项和的求法等基础知识,意在考查学生的转化与化归能力和运算求解能力.此类题是高考常考题型,难度不大,有一定的技巧,故选此题. 7.已知数列满足.数列 前项和为. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求正整数的值; (Ⅲ)是否存在正整数,使得恰好为数列中的一项?若存在,求出所有满足条件的值,若不存在,说明理由.【来.源:全,品…中&高*考*网】 【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等基础知识,考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力.此类题有一定的综合性,难度中等,有一定的解题技巧,故选此题. 8.已知数列中任意连续三项的和为零,且 (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和的取值范围. 【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等基础知识,考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析的能力.此题构思巧妙,有一定的新意,有一定的难度,故选此题.查看更多