2019高三数学（人教B版+理）一轮：课时规范练54变量间的相关关系、统计案例

2019高三数学（人教B版+理）一轮：课时规范练54变量间的相关关系、统计案例

课时规范练54　变量间的相关关系、统计案例 基础巩固组 ‎1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是(　　)‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x‎,‎y)‎ C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg ‎2.根据如下样本数据:‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎-0.5‎ ‎0.5‎ ‎-2.0‎ ‎-3.0‎ 得到的回归方程为y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎,则(　　)‎ A.a‎^‎>0,b‎^‎>0 B.a‎^‎>0,b‎^‎<0‎ C.a‎^‎<0,b‎^‎>0 D.a‎^‎<0,b‎^‎<0‎ ‎3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(　　)‎ A.若χ2的值为6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,因此在100个吸烟的人中必有99个患有肺病 B.由独立性检验知,在有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有99%的可能患肺病 C.若在统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有1%的可能性使得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 ‎4.两个随机变量x,y的取值如下表:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x,y具有线性相关关系,且y‎^‎‎=‎b‎^‎x+2.6,则下列结论错误的是(　　)‎ A.x与y是正相关 B.当x=6时,y的估计值为8.3‎ C.x每增加一个单位,y大约增加0.95个单位 D.样本点(3,4.8)的残差为0.56‎ ‎5.2017年春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ 则下面的结论正确的是(　　)‎ A.没有足够的理由认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B.有99%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C.有99%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D.有95%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ ‎6.(2017山东潍坊二模,理12)某公司未来对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:‎ 单价x/元 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量y/件 ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据,求得线性回归方程为y‎^‎=-4x+a‎^‎,当产品销量为76件时,产品定价大致为　　　　　元. ‎ ‎7.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得‎∑‎i=1‎‎10‎xi=80,‎∑‎i=1‎‎10‎yi=20,‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi=184,‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎=720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y‎^‎对月收入x的线性回归方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎;‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.‎ ‎〚导学号21500770〛‎ 综合提升组 ‎8.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:‎ 男 女 总计 爱　好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总　计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 附表:‎ P(χ2>k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 参照附表,得到的正确结论是(　　)‎ A.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C.有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D.有95%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎9.已知x与y之间的几组数据如下表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是(　　)‎ A.b‎^‎>b',a‎^‎>a' ‎ B.b‎^‎>b',a‎^‎a' ‎ D.b‎^‎k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎12.某贫困地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎n‎(ti-t)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎n‎(ti-‎t‎)‎‎2‎,a‎^‎=y-‎b‎^‎t.‎ 创新应用组 ‎13.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:‎ 年收入x/万元 ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 年饮食支出y/万元 ‎0.9‎ ‎1.4‎ ‎1.6‎ ‎2.0‎ ‎2.1‎ ‎1.9‎ ‎1.8‎ ‎2.1‎ ‎2.2‎ ‎2.3‎ ‎(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;‎ ‎(2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.‎ ‎14.‎ ‎(2017福建南平一模改编)某单位N名员工参加“我爱阅读”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.‎ 下面是年龄的分布表 区间 ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎[40,45)‎ ‎[45,50]‎ 人数 ‎28‎ a b ‎(1)求正整数a,b,N的值;‎ ‎(2)现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取42人,则年龄在第1,2,3组的员工分别抽多少?‎ ‎(3)为了了解该单位员工的阅读习惯,对第1,2,3组中抽出的42人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查,调查结果如下表所示:(单位:人)‎ 喜欢阅读国学类 不喜欢阅读国学类 合计 男 ‎16‎ ‎4‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 合计 ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ 根据表中数据,是否有99%的把握认为该单位员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”?‎ 附:χ2=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎12‎n‎21‎‎)‎‎2‎n‎1+‎n‎2+‎n‎+1‎n‎+2‎,‎ P(χ2>k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 参考答案 课时规范练54　变量间的相 关关系、统计案例 ‎1.D　由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确;又线性回归方程必过样本点中心(x‎,‎y),因此B正确;由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1 cm,其体重约增加0.85 kg,故C正确;当某女生的身高为170 cm时,其体重估计值是58.79 kg,而不是具体值,因此D不正确.‎ ‎2.B　由题表中数据画出散点图,如图,‎ 由散点图可知b‎^‎<0,a‎^‎>0,故选B.‎ ‎3.C　独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.‎ ‎4.D　由表格中的数据可知选项A正确;‎ ‎∵x‎=‎‎1‎‎4‎(0+1+3+4)=2,y‎=‎‎1‎‎4‎(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,‎ ‎∴4.5=2b‎^‎+2.6,‎ 解得b‎^‎=0.95,∴y‎^‎=0.95x+2.6.‎ 当x=6时,y‎^‎=0.95×6+2.6=8.3,故选项B正确;‎ 由y‎^‎=0.95x‎^‎+2.6可知选项C正确;‎ 当x=3时,y‎^‎=0.95×3+2.6=5.45,残差是5.45-4.8=0.65,故选项D错误.‎ ‎5.A　由2×2列联表得到n11=45,n12=10,n21=30,n22=15,则n11+n12=55,n21+n22=45,n11+n21=75,n12+n22=25,n11n22=675,n12n21=300,n=100,计算χ2=‎100×(675-300‎‎)‎‎2‎‎55×45×75×25‎≈3.030.‎ 因为3.030<3.841,所以没有足够的理由认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选A.‎ ‎6.7.5　∵x=6.5,y=80,∴a‎^‎=80-(-4)×6.5,解得a‎^‎=106,∴回归方程为y‎^‎=-4x+106.‎ 当y=76时,76=-4x+106,∴x=7.5,故答案为7.5.‎ ‎7.解 (1)由题意知n=10,x‎=‎‎1‎‎10‎‎∑‎i=1‎‎10‎xi=‎80‎‎10‎=8,y‎=‎‎1‎‎10‎‎∑‎i=1‎‎10‎yi=‎20‎‎10‎=2,‎ 又‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎‎-‎‎10‎x‎2‎=720-10×82=80,‎ ‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi-10x‎ ‎y=184-10×8×2=24,‎ 由此得b‎^‎‎=‎‎24‎‎80‎=0.3,a‎^‎‎=y-‎b‎^‎x=2-0.3×8=-0.4,‎ 故所求线性回归方程为y‎^‎=0.3x-0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b‎^‎=0.3>0),因此x与y之间是正相关.‎ ‎(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y‎^‎=0.3×7-0.4=1.7(千元).‎ ‎8.A　依题意,由χ2=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎12‎n‎21‎‎)‎‎2‎n‎1+‎n‎2+‎n‎+1‎n‎+2‎,‎ 得χ2=‎110×(40×30-20×20‎‎)‎‎2‎‎60×50×60×50‎≈7.8>6.635.‎ 所以有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.‎ ‎9.C　由题意可知,b'=2,a'=-2,b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎‎6‎‎(xi-x)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎6‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎7‎.‎ a‎^‎‎=y-b‎^‎x=‎13‎‎6‎-‎5‎‎7‎×‎‎7‎‎2‎‎=-‎1‎‎3‎,‎ 故b‎^‎a',故选C.‎ ‎10.185　由题意,得父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如下表:‎ x ‎173‎ ‎170‎ ‎176‎ y ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ 则x‎=‎‎173+170+176‎‎3‎=173,y‎=‎‎170+176+182‎‎3‎=176,‎ ‎∑‎i=1‎‎3‎‎(xi-x)(yi-y)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)×(182-176)=18,‎ ‎∑‎i=1‎‎3‎‎(xi-x)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.‎ ‎∴b‎^‎‎=‎‎18‎‎18‎=1.∴a‎^‎‎=y-‎b‎^‎x=176-173=3.‎ ‎∴线性回归直线方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎=x+3.‎ ‎∴可估计孙子身高为182+3=185(cm).‎ ‎11.解 (1)甲班化学成绩前十的平均分 x甲‎=‎‎1‎‎10‎‎(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;‎ 乙班化学成绩前十的平均分 x乙‎=‎‎1‎‎10‎‎(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4.‎ ‎∵x甲‎<‎x乙,∴大致可以判断新课堂教学的教学效果更佳.‎ ‎(2)‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 成绩不优良 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总　计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据2×2列联表中的数据,得 χ2=‎40(10×4-16×10‎‎)‎‎2‎‎26×14×20×20‎≈3.956>3.841,‎ ‎∴有95%的把握认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎12.解 (1)由所给数据计算得t‎=‎‎1‎‎7‎(1+2+3+4+5+6+7)=4,‎ y‎=‎‎1‎‎7‎‎(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,‎ ‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,‎ ‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,‎ b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-‎t‎)‎‎2‎=‎‎14‎‎28‎‎=0.5,a‎^‎‎=y-‎b‎^‎t=4.3-0.5×4=2.3,‎ 所求回归方程为y‎^‎=0.5t+2.3.‎ ‎(2)由(1)知,b‎^‎=0.5>0,故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年约增加0.5千元.‎ 将2019年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y‎^‎=0.5×9+2.3=6.8,‎ 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.‎ ‎13.解 (1)由题意,得年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图.‎ 从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.‎ 因为x=6,y=1.83,‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎=406,‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi=117.7,所以b‎^‎‎=‎‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi‎-10x ‎y‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎‎-10‎x‎2‎≈0.172,‎ a‎^‎‎=y-‎b‎^‎x≈1.83-0.172×6=0.798.‎ 从而得到线性回归方程为y‎^‎=0.172x+0.798.‎ ‎(2)y‎^‎=0.172×9+0.798=2.346(万元).‎ 所以某家庭年收入为9万元时,可以预测其年饮食支出为2.346万元.‎ ‎14.解 (1)总人数N=‎28‎‎5×0.02‎=280,a=280×0.02×5=28.‎ 第3组的频率是1-5×(0.02+0.02+0.06+0.02)=0.4,‎ 所以b=280×0.4=112.‎ ‎(2)因为年龄低于40岁的员工在第1,2,3组,共有28+28+112=168(人),‎ 利用分层抽样在168人中抽取42人,每组抽取的人数分别为:‎ 第1组抽取的人数为28×‎42‎‎168‎=7(人),第2组抽取的人数为28×‎42‎‎168‎=7(人),‎ 第3组抽取的人数为112×‎42‎‎168‎=28(人),‎ 所以第1,2,3组分别抽7人、7人、28人.‎ ‎(3)假设H0:“是否喜欢阅读国学类书籍和性别无关系”,根据表中数据,‎ 求得χ2=‎42×(16×14-4×8‎‎)‎‎2‎‎24×18×20×22‎≈8.145>6.635.‎ 从而有99%的把握认为该单位的员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”.‎