数学文卷·2018届广东省普宁市第二中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届广东省普宁市第二中学高二上学期期末考试（2017-01）

‎ 普宁市第二中学2018届高二级上学期·期末考试 ‎ 文科数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。‎ ‎2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卷的整洁。‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1．抛物线的焦点坐标是 A． B． C． D．‎ ‎2．函数的图像与x轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于 ‎ A．42 B．36 C．32 D．26‎ ‎4． 在棱长为2的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则 ‎ A．0 B． C．2 D．‎ ‎5．已知函数，则其导数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为　(　　)‎ A．120° B．60° C．30° D．150°‎ ‎7．当在上变化时，导函数的符号变化如下表： ‎ ‎1‎ ‎（1，4）‎ ‎4‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 则函数的图象的大致形状为 ‎8． 若函数在区间单调递增，则k的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．若，且函数在处有极值，则的最大值等于　‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎10．已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是　‎ A．[-1,1] B．(-1,1] C．(-1,1) D．[-1,1)‎ ‎11． 在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为，若，则点P到直线 的距离为 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，[-2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题： ‎ ‎① f（x）的解析式为：，[-2，2]；　‎ ‎② f（x）的极值点有且仅有一个；‎ ‎③ f（x）的最大值与最小值之和等于零.‎ 则下列选项正确的是（ ）.‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.（x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为　　． ‎ ‎14.已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为　　． ‎ ‎ ‎ ‎15.已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为　　．‎ ‎16.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积是　 　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．‎ ‎（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设Cn=（n∈N*），求证Cn+1＜Cn．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面EFGH；‎ ‎（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将 成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.‎ ‎（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；‎ ‎（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；‎ ‎（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 设函数. ‎ ‎（1）若关于的不等式在为自然对数的底数） 上有实数解, 求实数的取值范围； ‎ ‎（2）设,若关于的方程至少有一个解, 求的 最小值； ‎ ‎（3） 证明不等式：. ‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎ ‎ 选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）‎ ‎22.（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．‎ ‎（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．‎ ‎23.（选修4-5：不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． ‎ ‎（1）解不等式f（x）＞0； ‎ ‎（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围． ‎ ‎ 普宁市第二中学2018届高二级上学期·期末考试 文科数学试题参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C A B D C C D D D A B ‎13.50‎ ‎14.‎ ‎15.（，8]‎ ‎16.16π ‎17.‎ ‎（1）①当n≥2时，由an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．‎ 由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．‎ ‎∵a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎∴．（3分）‎ ‎②等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．‎ ‎∴bn=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（6分）‎ ‎（2）由（1）可得=．‎ ‎∴=cn．（9分）‎ ‎∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，‎ ‎∴．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1）∵AB∥平面EFGH，‎ 又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，‎ ‎∴AB∥EF，同理CD∥HE，‎ ‎∵，‎ ‎∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，‎ 同理BC⊥DC，‎ ‎∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，‎ 又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，‎ ‎∴BC⊥平面EFGH．（5分）‎ ‎（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，‎ 作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，‎ 则，（7分）‎ ‎∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，‎ ‎∵，∴‎ ‎，得：，即，（8分）‎ 又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，‎ ‎∴，得，即，（9分）‎ 设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，‎ 那么，‎ ‎∴，（11分）‎ ‎∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．（12分）‎ ‎19.（1）频率分布直方图见解析，；（2）；（3）分布列见解析，.‎ ‎.（4分）‎ ‎（6分）‎ ‎（9分）‎ 故的分布列如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 依题意，故.（12分）‎ ‎20.（1）（-∞，e2-2];（4分）（2）0；（8分）（3）略.（12分）‎ ‎21.‎ ‎（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2，‎ A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…（1分）‎ 在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，‎ 交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，‎ 由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，‎ 从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…（4分）‎ 设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，‎ 所以双曲线的标准方程为…（5分）‎ 证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…（6分）‎ 设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，‎ ‎：…（8分）‎ 由△=0，化简得：…（9分）‎ 令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…（10分）‎ 因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…（11分）‎ 知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…（12分）‎ ‎22.‎ ‎（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，‎ 设Q（x，y），则，‎ 代入圆的方程可得，‎ 化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程．（5分）‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．‎ 得 令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．‎ ‎∴．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0， ‎ 得x＞﹣5，所以x≥4成立； ‎ 当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0， ‎ 得x＞1，所以1＜x＜4成立； ‎ 当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立． ‎ 综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（5分） ‎ ‎（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4| ‎ ‎≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9， ‎ 当﹣时等号成立． ‎ 即有F（x）的最小值为9， ‎ 所以m≤9． ‎ 即m的取值范围为（﹣∞，9]．（10分） ‎