高考数学人教A版(理)一轮复习:第十篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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高考数学人教A版(理)一轮复习:第十篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十篇 ‎ 计数原理 第1讲 分类加法计数原理与 ‎ 分步乘法计数原理 A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 (  ).‎ A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 解析 分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法,其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种),故选C.‎ 答案 C ‎2.(2013·琼海模拟)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜,7种不同的蔬菜,用餐者可以按下述方法之一搭配午餐:(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭;(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法总数是(  ).‎ A.210 B.420 C.56 D.22‎ 解析 ‎ 由分类加法计数原理:两类配餐方法和即为所求,所以每天不同午餐的搭配方法总数为:CC+CC=210.‎ 答案 A ‎3.(2013·海口模拟)某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展,某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团.且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为 (  ).‎ A.72 B.108 C.180 D.216‎ 解析 设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,由题意,如果甲不参加“围棋苑”,有下列两种情况:‎ ‎(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”,有C种方法,然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中,有CA种方法, 故共有CCA种参加方法;‎ ‎(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”,有C种方法,甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法,这时共有CA种参加方法;‎ 综合(1)(2),共有CCA+CA=180种参加方法.‎ 答案 C ‎4.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (  ).‎ A.60 B.48 C.36 D.24‎ 解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B.‎ 答案 B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2013·抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示).‎ 解析 因为直线过原点,所以C=0,从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B,两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为A=30.‎ 答案 30‎ ‎6.数字1,2,3,…,9这九个数字填写在如图的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有________种.‎ 解析 必有1、4、9在主对角线上,2、3只有两种不同的填法,对于它们的每一种填法,5只有两种填法.对于5的每一种填法,6、7、8只有3种不同的填法,由分步计数原理知共有22×3=12种填法.‎ 答案 12‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7.(12分)如图所示三组平行线分别有m、n、k条,在此图形中 ‎(1)共有多少个三角形?‎ ‎(2)共有多少个平行四边形?‎ 解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的,由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形.‎ ‎(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的,由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形.‎ ‎8.(13分)设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.‎ ‎(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?‎ ‎(2)P可以表示多少个第二象限内的点?‎ ‎(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?‎ 解 (1)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有6种,经检验36个点均不相同,由分步乘法计数原理得N=6×6=36(个).‎ ‎(2)分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得N=3×2=6个.‎ ‎(3)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得N=6×5=30个.‎ B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 (  ).‎ A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 解析 甲、乙两人不去巴黎游览情况较多,采用排除法,符合条件的选择方案有CA-CA=240.‎ 答案 B ‎2.(2012·安徽)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 (  ).‎ A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4‎ 解析 利用排列、组合知识求解.设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示.若任意两位同学之间都进行交换共进行C=15(次)交换,现共进行13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:(1)由3人构成的2次交换,如a-b和a-c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人.‎ ‎(2)由4人构成的2次交换,如a-b和c-e之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.故选D.‎ 答案 D 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.(2013·潍坊期中)如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.‎ 解析 当相同的数字不是1时,有C个;当相同的数字是1时,共有CC个,由分类加法计数原理得共有“好数”C+CC=12个.‎ 答案 12‎ ‎4.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的填写方法共有________种.‎ 解析 由于3×3方格中,每行、每列均没有重复数字,因此可从中间斜对角线填起.如图中的△,当△全为1时,有2种(即第一行第2列为2或3,当第二列填2时,第三列只能填3,当第一行填完后,其他行的数字便可确定),当△全为2或3时,分别有2种,所以共有6种;当△分别为1,2,3时,也共有6种.共12种.‎ 答案 12‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5.(12分)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有多少种?‎ 解 先涂A、D、E三个点,共有4×3×2=24种涂法,然后再按B、C、F的顺序涂色,分为两类:一类是B与E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8种涂法;另一类是B与E或D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3种涂法.所以涂色方法共有24×(8+3)=264(种).‎ ‎6.(13分)从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数.一共可以得到多少个不同的对数值?其中比1大的有几个?‎ 解 在2,3,…,9这8个数中任取2个数组成对数,有A个,在这些对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复计数4个;又1不能作为对数的底数,1作为真数时,不论底数为何值,其对数值均为0.所以,可以得到A-4+1=53个不同的对数值.‎ 要求对数值比1大,分类完成;底数为2时,真数从3,4,5,…,9中任取一个,有7种选法;底数为3时,真数从4,5,…,9中任取一个,有6种选法……‎ 依次类推,当底数为8时,真数只能取9,故有7+6+5+4+3+2+1=28(个).但其中log24=log39,log23=log49,所以,比1大的对数值有28-2=26(个).‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎
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