人教版高三数学总复习课时作业61

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人教版高三数学总复习课时作业61

课时作业61 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 ‎1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.‎ 答案:A ‎2.椭圆+=1的离心率为e,点(1,e)是圆x2+y2-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是(  )‎ A.3x+2y-4=0 B.4x+6y-7=0‎ C.3x-2y-2=0 D.4x-6y-1=0‎ 解析:依题意得e=,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,)的连线的斜率为=,所求直线的斜率为-,所以所求直线方程是y-=-(x-1).即4x+6y-7=0.‎ 答案:B ‎3.直线l过抛物线y2=8x的焦点,且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则(  )‎ A.y1·y2=-64 B.y1·y2=-8‎ C.x1·x2=4 D.x1·x2=16‎ 解析:由抛物线的焦点为F(2,0),设直线l的方程为my=x-2,由⇒y2-8my-16=0,又A(x1,y1),B(x2,y2),故y1·y2=-16,x1·x2===4.故选C.‎ 答案:C ‎4.已知直线y=x与双曲线-=1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPA·kPB=(  )‎ A. B. C. D.与P点位置有关 解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由 得y2=,y1+y2=0,y1y2=-,x1+x2=0,x1x2=-4×.由kPA·kPB=·= ‎=== 知kPA·kPB为定值,选A.‎ 答案:A ‎5.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为(  )‎ A.± B.± C.± D.± 解析:焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在,且不为0.故可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x中化简得ky2-4y-4k=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,①‎ y1y2=-4,②‎ 又由=-4可得y1=-4y2,③‎ 联立①②③式解得k=±.‎ 答案:D ‎6.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则此双曲线的离心率是(  )‎ A.2 B.3‎ C. D.9‎ 解析:双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,代入抛物线得x=x2+2,即x2-x+2=0,则Δ=-8=0,即b2=8a2,又b2=c2-a2=8a2,所以c2=9a2,故e==3.‎ 答案:B 二、填空题 ‎7.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m 的取值范围是________.‎ 解析:直线y=kx+1过定点(0,1),‎ 由题意知∴m≥1,且m≠5.‎ 答案:m≥1,且m≠5‎ ‎8.设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则||+||=________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=2,且x=4y1,x=4y2,两式相减整理得,==,所以直线AB的方程为x-2y+7=0.将x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由抛物线定义得||+||=y1+y2+2=10.‎ 答案:10‎ ‎9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=________.‎ 解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得(*)‎ 因为点M在椭圆上,所以+=1,将(*)式代入,得+=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.已知椭圆C1:+=1(00)的焦点是椭圆的顶点.‎ ‎(1)求抛物线C2的方程.‎ ‎(2)过点M(-1,0)的直线l与抛物线C2交于E,F两点,过E,F作抛物线C2的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.‎ 解:(1)∵椭圆C1的长半轴长a=2,半焦距c=,由e===得b2=1,‎ ‎∴椭圆C1的上顶点为(0,1),‎ ‎∴抛物线C2的焦点为(0,1),‎ ‎∴抛物线C2的方程为x2=4y.‎ ‎(2)由已知可得直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2).由x2=4y得y=x2,∴y′=x.∴切线l1,l2的斜率分别为x1,x2.‎ 当l1⊥l2时,x1·x2=-1,即x1x2=-4.‎ 由得x2-4kx-4k=0,∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0,解得k<-1或k>0.①‎ 且x1x2=-4k=-4,得k=1,满足①式.‎ ‎∴直线l的方程为x-y+1=0.‎ ‎11.已知圆C:(x+)2+y2=16,点A(,0),Q是圆上一动点,‎ AQ的垂直平分线交CQ于点M,设点M的轨迹为E.‎ ‎(1)求轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A,B,△AOB(O是坐标原点)的面积S=,求直线AB的方程.‎ 解:(1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2,所以轨迹E是以A,C为焦点,长轴长为4的椭圆,‎ 即轨迹E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)记A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由题意,直线AB的斜率不可能为0,而直线x=1也不满足条件,故可设AB的方程为x=my+1.‎ 由消去x得(4+m2)y2+2my-3=0,‎ 所以 S=|OP||y1-y2|= ‎=.‎ 由S=,解得m2=1,即m=±1.‎ 故直线AB的方程为x=±y+1,‎ 即x+y-1=0或x-y-1=0为所求.‎ ‎1.对于直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的____________条件.(  )‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 解析:联立方程组消去y并整理得,k2x2+2(k2-2)x+k2=0.‎ 当k=0时,上式变为-4x=0,解得x=0,l与C有唯一交点,‎ 当k≠0时,Δ=4(k2-2)2-4k4=0,解得k=±1.‎ 故k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的充分不必要条件.‎ 答案:A ‎2.已知椭圆+=1的焦点是F1,F2,如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2,则下面结论正确的是(  )‎ A.P点有两个 B.P点有四个 C.P点不一定存在 D.P点一定不存在 解析:设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b=4,c=3.以F1F2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点,所以P点一定不存在.‎ 答案:D ‎3.双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过F作l∥l2且l交双曲线C于R,交l1于M,若=λ,且λ∈,则双曲线的离心率的取值范围为(  )‎ A.(1,] B.(,)‎ C.(,) D.(,+∞)‎ 解析:由题意得令l1:y=-x,l2:y=x,‎ l:y=(x-c),‎ 由l交双曲线C于R,令 解此方程组得R,‎ 故有=,‎ 由l交l1于M,令 解此方程组得M,故有=,由=λ,得=λ,‎ 所以=-,整理得a2=(1-λ)c2,即e2=,‎ 又λ∈,所以e2∈(2,3),即e∈(,).‎ 答案:B ‎4.(2014·福建卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率;‎ ‎(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,‎ 从而双曲线E的离心率e==.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.‎ 设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则|OC|=a,|AB|=4a,‎ 又因为△OAB的面积为8,‎ 所以|OC|·|AB|=8,‎ 因此a·4a=8,解得a=2,‎ 此时双曲线E的方程为-=1.‎ 故存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.‎ 以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.‎ 设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得y1=,同理得y2=,‎ 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,·=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).‎ 由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.‎ 因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),‎ 又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.‎
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