2019高三数学文北师大版一轮重点强化训练3+不等式及其应用

2019高三数学文北师大版一轮重点强化训练3+不等式及其应用

重点强化训练(三)　不等式及其应用 ‎ (对应学生用书第241页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D．>1(x∈R)‎ C　[取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D．]‎ ‎2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　) 【导学号：00090208】‎ A．－4　　　 B．6　　　‎ C．10　　　 D．17‎ B　[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，‎ 平移该直线，易知经过点A时z最小．‎ 又知点A的坐标为(3,0)，‎ ‎∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B．]‎ ‎3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．3 D．6‎ C　[由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．‎ 因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C．]‎ ‎4．不等式≤x－2的解集是(　　)‎ A．(－∞，0)∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)‎ C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)‎ B　[①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；‎ ‎②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，‎ 解得0≤x<2.‎ 综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]‎ ‎5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1，＋∞)‎ C　[因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C．]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．‎ ‎－10　[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]‎ ‎7．(2016·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为________. 【导学号：00090209】‎ ‎2　[由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，‎ 得ab＝1，‎ 则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．]‎ ‎8．(2018·苏州模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．‎ 　[由题可得f(x)＜0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－＜m＜0.]‎ 三、解答题 ‎9．已知不等式>0(a∈R)．‎ ‎(1)解这个关于x的不等式；‎ ‎(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0. 1分 ‎①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；‎ ‎②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0.‎ 解得x<－1或x>； 3分 ‎③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；‎ 若<－1，即－1－1，即a<－1，则 －10时，解集为. 6分 ‎(2)∵x＝－a时不等式成立，‎ ‎∴>0，即－a＋1<0， 10分 ‎∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞). 12分 ‎10．某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？‎ ‎[解]　设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1 600x＋2 400y.‎ 由题意，得x，y满足约束条件 作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．‎ 由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值．‎ 故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[4，＋∞)　 B．(－∞，1]‎ C．(－∞，4] D．(－∞，4)‎ D　[因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．]‎ ‎2． 若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a 的最小值是__________．‎ ‎－　[法一：由于x>0，‎ 则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，‎ 而当x∈时，max＝－，‎ ‎∴a≥－，故a的最小值为－.‎ 法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－.‎ ‎①若－≥，即a≤－1时，f(x)在上单调递减，此时应有f≥0，从而－≤a≤－1.‎ ‎②若－<0，即a>0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0.‎ ‎③若0≤－<，即－10.‎ ‎(1)用定义证明f(x)在[－1,1]上是增函数；‎ ‎(2)解不等式f0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，‎ 即f(x)在[－1,1]上为增函数， 4分 ‎(2)∵f(x)在[－1,1]上为增函数，‎ ‎∴解得. 8分 ‎(3)由(1)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，‎ ‎∴要f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即要t2－2at＋1≥1成立，‎ 故t2－2at≥0，记g(a)＝－2ta＋t2. 10分 对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，‎ ‎∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.‎ ‎∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}. 12分