高中数学必修1备课资料（1_1集合的含义与表示）

高中数学必修1备课资料（1_1集合的含义与表示）

备课资料 ‎［备选例题］‎ ‎【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:‎ ‎(1)被3除余1的自然数组成的集合;‎ ‎(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;‎ ‎(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;‎ ‎(4)设a、b是非零实数,求y=的所有值组成的集合.‎ 思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.‎ 解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n∈N).用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈N}.‎ ‎(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.‎ ‎(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.‎ ‎(4)当ab<0时,y==-1;当ab>0时,则a>0,b>0或a<0,b<0.‎ 若a>0,b>0,则有y==3;若a<0,b<0,则有y==-1.‎ ‎∴y=的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.‎ ‎【例2】定义A-B={x|x∈A,xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表示集合N-M.‎ 分析:应用集合A-B={x|x∈A,xB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N,它们的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3还剩下元素6,则N-M={6}.‎ 答案：{6}.‎ ‎(设计者：张新军)‎ 设计方案（二）‎ 教学过程 导入新课 思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出课题.‎ 思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?‎ ‎(1)1~20以内的所有质数;‎ ‎(2)我国古代的四大发明;‎ ‎(3)所有的安理会常任理事国;‎ ‎(4)所有的正方形;‎ ‎(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.‎ 活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.‎ 引导过程:‎ ‎①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.‎ ‎②集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.‎ ‎③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.‎ ‎④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.‎ ‎⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.‎ ‎⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.‎ 元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么a∈A,要么aA.‎ ‎⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:‎ 自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.‎ 因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.‎ 提出问题 ‎(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.‎ ‎(2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？‎ 活动：学生回答后,教师指出:‎ ‎①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A={0,1,2,3,4}.‎ ‎②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.‎ 应用示例 思路1‎ ‎1.课本第3页例1.‎ 思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.‎ 点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.‎ 变式训练 请试一试用列举法表示下列集合:‎ ‎(1)A={x∈N|且∈N};‎ ‎(2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};‎ ‎(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.‎ 分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.‎ ‎(1)集合A中元素x满足均为自然数;‎ ‎(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;‎ ‎(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.‎ 答案：(1)A={0,6,8};‎ ‎(2)B={2,5,6};‎ ‎(3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}.‎ ‎2.课本第4页例2.‎ 思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.‎ 点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.‎ 变式训练 课本P5练习2.‎ 思路2‎ ‎1.下列所给对象不能构成集合的是( )‎ A.一个平面内的所有点 B.所有大于零的正数 C.某校高一(4)班的高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客 思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.‎ 答案：C 变式训练 下列各组对象中不能构成集合的是( )‎ A.高一(1)班全体女生 B.高一(1)班全体学生家长 C.高一(1)班开设的所有课程 D.高一(1)班身高较高的男同学 分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,‎ 即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.‎ 答案：D ‎2.用另一种形式表示下列集合:‎ ‎(1){绝对值不大于3的整数};‎ ‎(2){所有被3整除的数};‎ ‎(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};‎ ‎(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z};‎ ‎(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.‎ 思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.‎ 答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.‎ ‎(2){x|x=3n,n∈Z}.‎ ‎(3)∵x=|x|,∴x≥0.‎ 又∵x∈Z且x<5,‎ ‎∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.‎ ‎(4){-2}.‎ ‎(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.‎ 变式训练 用适当的形式表示下列集合:‎ ‎(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;‎ ‎(2)所有被3整除的数组成的集合;‎ ‎(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;‎ ‎(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.‎ 分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.‎ 答案：(1){x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};‎ ‎(2){x|x=3n,n∈Z};‎ ‎(3){,-2};‎ ‎(4){(x,y)|y=x+6}.‎ ‎3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的取值范围.‎ 思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.‎ 解：当a=0时,原方程为-3x+2=0x=,符合题意;‎ 当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则解得a≠0且a≤.‎ 综上所得a的取值范围是{a|a≤}.‎ ‎4.用适当的方法表示下列集合:‎ ‎(1)方程组的解集;‎ ‎(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;‎ ‎(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;‎ ‎(4)所有正方形;‎ ‎(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.‎ 分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.‎ 解：(1){(4,-2)};‎ ‎(2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000};‎ ‎(3){(x,y)|x<0且y>0};‎ ‎(4){正方形};‎ ‎(5){(x,y)|x<-1或x>１}.‎ 知能训练 课本P5练习1、2.‎ 拓展提升 ‎1.已知A={x∈R|x=,abc≠0},用列举法表示集合A.‎ 分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.‎ 解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:‎ ‎(1)a、b、c全为正时,x=7;‎ ‎(2)a、b、c两正一负时,x=-1;‎ ‎(3)a、b、c一正两负时,x=-1;‎ ‎(4)a、b、c全为负时,x=-1.‎ ‎∴A={7,-1}.‎ 注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.‎ ‎2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}.‎ ‎(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;‎ ‎(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;‎ ‎(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.‎ 思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.‎ 答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.‎ ‎(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.‎ ‎(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.‎ 本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.‎ 课堂小结 在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:‎ ‎(1)本节课我们学习过哪些知识内容?‎ ‎(2)你认为学习集合有什么意义？‎ ‎(3)选择集合的表示法时应注意些什么?‎ 设计感想 本节课是集合的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.‎ 作业 ‎1.课本P11习题1.1A组4.‎ ‎2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.‎ ‎(设计者：韩双影)‎