2020届高考理科数学二轮专题复习课件：思想导引 方法点睛3-4
第
4
讲
转化与化归思想
题型一 数列问题化归为函数问题解决
【例
1
】
某厂
2019
年生产利润逐月增加
,
且每月增加的
利润相同
,
但由于厂方正在改造建设
,1
月份投入资金建
设恰好与
1
月份的利润相等
,
随着投入资金的逐月增加
,
且每月增加投入的百分率相同
,
到
12
月投入建设资金又
恰好与
12
月的生产利润相同
,
则全年总利润
M
与全年总投入
N
的大小关系是
(
)
A.M>N
B.M
0,
前
n
项和为
S
n
,
每月的投入资金组成一个等比数列
{b
n
},
且公比
q>1,
前
n
项和为
T
n
,a
1
=b
1
,
且
a
12
=b
12
,
比较
S
12
与
T
12
的大小
.
若直接求和
,
很难比较出其大小
,
但等差数列的通项公式是关于
n
的一次函数
,
其图象是一条直线上的一些点列
.
等比数列的通项公式是关于
n
的指数函数
,
其图象是指数函数上的一些点列
.
在同一坐标系中画出图象
,
直观地可以看出
a
i
≥b
i
,(1≤i≤12,i∈N),
则
S
12
>T
12
,
即
M>N.
【拓展提升】
把一个原本是求和的问题
,
转化到对数列各项逐一比较大小
,
而一次函数、指数函数的图象又是学生所熟悉的
.
在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵
,
通过对问题的反思、再加工后
,
使问题直观、形象
,
使解答更清晰
.
【变式训练】
已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
=n
2
-7n-8.
(1)
数列中有多少项为负数
?
(2)
数列
{a
n
}
是否有最小项
?
若有
,
求出其最小项
.
【解析】
(1)
令
a
n
<0,
即
n
2
-7n-8<0,
得
-1 .
Δ
2
=(2a)
2
+8a=4a(a+2)<0,
所以
-20,
则实数
p
的取值范围为
__________.
【解析】
如果在
[-1,1]
内没有值满足
f(c)>0,
则
⇒p≤-3
或
p≥ ,
取
补集为
-34x+p-3
对一切
0≤p≤4
均成立
,
试求实数
x
的取值范围
.
【解析】
因为
x
2
+px>4x+p-3,
所以
(x-1)p+x
2
-4x+3>0.
令
g(p)=(x-1)p+x
2
-4x+3,
则要使它对一切
0≤p≤4
均有
g(p)>0,
只要有
所以
x
的取值范围为
{x|x>3
或
x<-1}.
【拓展提升】
在有几个变量的问题中
,
常常有一个变量处于主要地位
,
我们称之为主元
,
由于思维定势的影响
,
在解决这类问
题时
,
我们总是紧紧抓住主元不放
,
这在很多情况下是
正确的
.
但在某些特定条件下
,
此路往往不通
,
这时若能
变更主元
,
转变其他变量在问题中的地位
,
就能使问题迎刃而解
.
本题中
,
若视
x
为主元来处理
,
既繁且易出错
,
将主元进行转化
,
使问题变成关于
p
的一次不等式
,
问题实现了从高维向低维的转化
,
解题简单易行
.
【变式训练】
若不等式
x
2
-ax+1≥0
对一切
a∈[-2,2]
恒成立
,
则
x
的取值范围是
__________.
【解析】
因为
a∈[-2,2],
则可把原式看作关于
a
的函数
,
即
g(a)=-xa+x
2
+1≥0,
由题意可知
,
解之得
x∈R,
所以
x
的取值范围是
(-∞,+∞).
答案
:
(-∞,+∞)
