数学（理）卷·2019届江西省南康中学高二下学期第一次月考（2018-03）

数学（理）卷·2019届江西省南康中学高二下学期第一次月考（2018-03）

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第一次大考 ‎ 数 学 试 卷（理科） 2018.03.29‎ ‎ ‎ 一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，若，则（ ）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎2．已知是虚数单位，复数满足，则=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．对于命题：使得. 则为（ ）‎ ‎ A．使得 B．使得 ‎ C．使得 D．使得 ‎4．在中，是为锐角三角形的（ ）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎5．如图是一个算法的流程图，则输出的值是（ ）‎ ‎ ‎ A．15 B．31 C．63 D．127 ‎ ‎6．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由到时,不等式的左边增加了（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为（ ）‎ A．（1，1） B．（，1） C． D．(1,0) ‎ ‎8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（ ）‎ A．3125 B．5625 C．0625 D．8125‎ ‎9．从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为（ ）‎ ‎ A． ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ D． ‎10．在三棱锥中，底面是等腰三角形，，，平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知圆及圆，动圆与两圆相内切或外切，动圆M的圆心的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意，都有且 时，，若则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知是虚数单位，i=_____‎ ‎14．‎ ‎15．已知点是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在点 与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为 ‎ ‎16．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 的内角A,B,C所对的边分别为 ‎（1）若成等差数列，证明：‎ ‎（2）若成等比数列，且，求的值 ‎.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，且二面角所成角的余弦值为，试求该几何体的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和. ‎ ‎ x(个)‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ y(百万元)‎ ‎ 2.5‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎4.5 ‎ ‎ 6‎ ‎(1)在年收入之和为2.5（百万元）和3（百万元）两区中抽取两分店调查，求这两分店来自同一区的概率 ‎(2)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(3)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位：百万元)与x，y之间的关系为z＝y－0.05x2－1.4，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大？‎ 参考公式：‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对任意的，若,有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆 C: 离心率，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围.‎ 南康中学2017-2018学年度第二学期高二第一次大考 ‎ 数学试卷（理科）答案 2018.03.29‎ 一、选择题 ‎1—5 CDDBC 6—10 ACBBB 11—12 AB 二.填空题 ‎13．-1 14． 15． 16．‎ 三.解答题 ‎17．解：(1),正弦定理得，………………6分 ‎(2)，……………………………12分 ‎18．解：证明：是圆的直径， ‎ 又平面又平面，且 平面， ‎ 又平面平面平面………………………6分 ‎（Ⅱ）设，以所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示 则，，，‎ 由（Ⅰ）可得，平面 平面的一个法向量是 设为平面的一个法向量 由条件得，，‎ ‎ 即 不妨令，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎ 得 ………9分 ‎ ……………12分 ‎19．（1）P= ………4分 ‎（2） ＝x＋，;‎ ‎ ∴.∴y关于x的线性回归方程y＝0.85x＋0.6.........8分 ‎(3)z＝y－0.05x2－1.4＝－0.05x2＋0.85x－0.8，A区平均每个分店的年利润t＝＝－0.05x－＋0.85＝－0.01＋0.85，∴x＝4时，t取得最大值，故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大....12分 ‎20. 解：(Ⅰ)定义域为 当时恒成立所以当时在区间上单调递增 当，若，；若，‎ 即当时函数在区间上递减；‎ 在上递增………6分 ‎(Ⅱ)若恒成立即 恒成立,令，则 即为递增函数 即恒成立 再令 只需，故………12分 ‎21．解. （1）由短轴长为，得，由，得．‎ ‎∴椭圆的标准方程为．………4分 ‎（2）以为直径的圆过定点．‎ 证明如下：设，则，且，即，‎ ‎∵，∴直线方程为：，∴‎ 直线方程为：，∴，‎ 以为直径的圆为 即，‎ ‎∵，∴，‎ 令，则，解得.∴以为直径的圆过定点．……12分 ‎22.解（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立． ‎ 所以当时，．‎ 又，‎ 故当，即时，．‎ 所以于是，故a的最小值为．………5分 ‎(2）命题“若使成立”等价于 ‎“当时，有”．‎ 由（1），当时，，．‎ 问题等价于：“当时，有”．‎ 当时，由（1），在上为减函数，‎ 则=，故．‎ 当时，由于在上为增函数，‎ 故的值域为，即．‎ ‎(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，‎ 于是，=，不合题意．‎ ‎(ii)若，即，由的单调性和值域知，‎ 唯一，使，且满足：‎ 当时，，为减函数；当时，，为增函数；‎ 所以，=，．‎ 所以，，与矛盾，不合题意．[]‎ 综上，得．………12分