2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二上学期第一次月考理科数学试题 命题人： 审题： ‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.）‎ ‎1．已知命题，则是（ D ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎2．直线与椭圆的位置关系为 （ C ） ‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 ‎3．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（ B）‎ A．5 B．‎8C．15 D．20‎ ‎4．已知命题，命题，则下列命题中的真命题为（ C ）‎ A．B．C．D．‎ ‎5．不等式成立的一个必要不充分条件是（C ）‎ A．B．C．D．‎ ‎6．若椭圆的离心率为，则实数(　A　)‎ A．B． C． D．‎ ‎7．是椭圆上的动点，过点作椭圆长轴的垂线,垂足为点,则的中点的轨迹方程为(　 A　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若点是椭圆上的一动点， 是椭圆的两个焦点，则最小值为(B)‎ A．B． C． D．‎ ‎9. 椭圆内过点的弦恰好被点平分，则这条弦所在的直线方程是(　D　)‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，上的点的坐标分别为，若点在椭圆上，则(　A　)‎ A.B.C.D.‎ ‎11．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为（ A ）‎ A．B．C．D．‎ ‎12．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（B ）‎ A．B． C．D．‎ 二． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．“”是“”成立的____充分不必要______条件．‎ ‎14．已知点和，动点满足，则点的轨迹方程为________________．‎ ‎15．已知实数满足，则的最大值等于________________．‎ ‎16．已知函数，，，，使，则实数的取值范围为________．‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤）‎ ‎17.（本题10分）已知双曲线过点，且它的两条渐近线方程为．‎ 求双曲线的方程；‎ 写出它的顶点坐标，焦点坐标，并求离心率．‎ ‎【解析】(1)根据题意，双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0，‎ 设其方程为：x2−4y2=λ，(λ≠0) 又由双曲线过点P(4,1)，有16−4=λ，解可得λ=12， ‎ 双曲线的标准方程为：；‎ ‎(2)由(1)可得， 其顶点坐标为，焦点坐标为，离心率．‎ ‎18．（本题12分）已知命题表示双曲线，命题表示椭圆．‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围及双曲线的焦距长；‎ ‎（2）判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件．‎ ‎【解析】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，‎ ‎∴， ‎ ‎∴双曲线的焦距长为． ‎ ‎（2）∵命题表示椭圆为真命题，‎ 则，∴， ‎ ‎∵集合是集合的真子集，‎ ‎∴是的必要不充分条件 ‎19.（本题12分）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为，离心率 ‎，过右焦点的直线交椭圆于两点．‎ 求椭圆的方程；‎ 当直线的斜率为时，求的面积．‎ ‎【解析】(1)由已知，椭圆方程可设为 由题意， 易得． ∴所求椭圆方程为．‎ ‎(2)∵直线过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为，∴直线l的方程为y=x−1． 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)， 联立 ，得， 解得． ∴‎ ‎20．（本题12分）已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集， .‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）， ．‎ ‎，则，解得,‎ 所以的取值范围是．‎ ‎（2）由（1）知．‎ ‎∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴是的真子集，‎ 即，解得，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎21.（本题12分）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点．‎ 求的范围；‎ 若，求直线的方程．‎ ‎【解析】(1)由椭圆方程有，‎ 设，点在椭圆上，‎ 又，‎ ‎(2)设两点的坐标为 当垂直于轴时，,此时，不符题意 即直线斜率必存在，设为，则直线方程为 联立 解得 故所求的直线方程为 ‎22．（本题12分）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相于两点，且.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线经过椭圆的左焦点与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，求面积的最大值.‎ ‎【解析】（1）由，得 椭圆方程可化为 联立得 设，则 由 解得，所求椭圆方程为 ‎（2）由题意设直线方程为：，‎ 联立得 当且仅当时面积最大为