数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学高三第九次考试（2018

数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学高三第九次考试（2018

南阳一中2018届高三第九次考试 理数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设为实数，若复数，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知的一个内角为，且三边长构成公差为2的等差数列，则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若，则下列不等式中一定不成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.曲线在点处的切线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.当时，执行下图所示的程序框图，输出的值为( )‎ A.20 B.42 C.60 D.180‎ ‎10.已知的外接圆的圆心为，半径，如果，且，则向量和方向上的投影为( )‎ A.6 B. C. D.‎ ‎11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长米，为了稳定广告牌，要求越短越好，则最短为( )‎ A.米 B.米 C.米 D.米 ‎12.已知是定义在上的可导函数，且满足，则( )‎ A. B. C.为减函数 D.为增函数 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，的展开式中的系数为1，则的值为___________.‎ ‎14.设袋子中装有3个红球、2个黄球、1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为___________.‎ ‎15.在底面是边长为6的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为___________.‎ ‎16.双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点，设与的交点为，，若，则双曲线的离心率为___________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.数列满足.‎ ‎(1)若数列为公差大于0的等差数列，求的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和.‎ ‎18.如图，直角梯形中，，，，等腰梯形中，，，，且平面平面.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)若与面所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ (1) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ (2) 已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎，参考数值：.‎ ‎20.如图，设椭圆，长轴的右端点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过作直线交抛物线于两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若，求的取值范围；(2)证明：.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若，设直线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎(1)求，求的取值范围；‎ ‎(2)若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.‎ 南阳一中2018届高三第九次考试 理数参考答案 一、选择题 ‎1-5:DACAC 6-10:ABDCB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.2‎ 三、解答题 ‎17.解：法一：‎ ‎(1)由已知：，‎ 当时，①，即，当时，②‎ ‎②－①，得，即.‎ 设等差数列的公差为，由，有，‎ 因为，解得，则.‎ ‎(1)法二：设等差数列公差为，，‎ ‎.‎ ‎∵，则，‎ ‎∴，因为，解得，则，且.‎ ‎(2)由已知： ③‎ 当时，④‎ ‎③－④，得：当时，，即.‎ 结合，得：.‎ ‎.‎ ‎18.证明：(1)∵平面平面，，‎ 平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴，‎ 又∵，且，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解：设，∵四边形为等腰梯形，，，∴，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴四边形为平行四边形，∴，‎ 又∵平面，∴平面，，‎ 过作，垂足为点，连结，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ 又∵，∴平面，∵平面，∴，‎ 故即为二面角的平面角，‎ 在中，求得，∴，‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：(1)由对照数据，计算得，，，‎ ‎，‎ 故，，故.‎ ‎(2)将代入方程，得吨.‎ 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)‎ ‎20.(1)∵椭圆，长轴的右端点与抛物线的焦点重合，∴，又∵椭圆的离心率是，∴，.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)过点的直线的方程为，设，，‎ 联立得，∴，.‎ ‎∴，过且与直线垂直的直线设为，‎ 联立，得，‎ ‎∴，故.‎ ‎∴，‎ 面积，‎ 令，则，，‎ 令，则，即时，面积最小，‎ 即当时，面积的最小值是9，此时直线的方程为.‎ ‎21.解：(1)，，‎ 题设等价于，‎ 令，则，‎ 当时，；‎ 当时，，是的最大值点，.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎(2)证明：由(1)知，，‎ 即，‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎22.解：(1)直线的参数方程为：(为参数)，‎ ‎∵，∴，∴，即.‎ ‎(2)当时，直线的参数方程为：(为参数)，‎ 代入可得，设两点对应的@参数分别是，，则 ‎，，∴.‎ 又点到直线的距离，‎ ‎∴.‎ ‎23.解：(1)，‎ 若，则，得，即时恒成立，‎ 若，则，得，即；‎ 若，则，得，即不等式无解.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需，‎ 当时，，，‎ ‎∵，∴当时，，‎ 则，解得，结合，所以的取值范围是.‎