河北省张家口市第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

河北省张家口市第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

高二年级12月月考衔接班数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据椭圆的方程可知，则，‎ 所以椭圆的离心率为，选D．‎ ‎【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎2.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. ‎72 ‎C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ‎①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96‎ 点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．‎ ‎3.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.‎ 考点：等比数列 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为 A. 2y±x＝0 B. 2x±y＝‎0 ‎C. 8x±y＝0 D. x±8y＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据离心率求得a与c的关系，再由双曲线中a、b、c的关系得到a、b的关系，进而得到渐近线方程．‎ ‎【详解】，即 所以 即 所以选B ‎【点睛】本题考查了双曲线的基本性质，属于基础题．‎ ‎5.设为椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为（ ）‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆定义知，又，所以，又所以，所以的面积为.故选C.‎ 考点：椭圆的定义.‎ ‎6.若,则等于( )‎ A. 5 B. ‎25 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把所给的等式两边对x求导，可得 25（5x﹣4）4＝a1+‎2a2 x+‎3a3x2+‎4a4x3+‎5a5x4，再令x＝1，可得 a1+‎2a2+‎3a3+‎4a4+‎5a5 的值．‎ ‎【详解】对于（5x﹣4）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，两边对x求导，‎ 可得 25（5x﹣4）4＝a1+‎2a2 x+‎3a3x2+‎4a4x3+‎5a5x4，‎ 再令x＝1，可得 a1+‎2a2+‎3a3+‎4a4+‎5a5＝25，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．‎ ‎7.椭圆上的点到直线的距离的最小值为( )‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P（ cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，求出P到直线2x﹣y﹣8＝0 的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．‎ ‎【详解】∵椭圆4x2+y2＝2，P为椭圆上一点，‎ ‎∴设P（ cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，‎ ‎∴P到直线2x﹣y﹣8＝0 的距离：‎ d，‎ 当且仅当cos（）＝1时取得最小值．‎ ‎∴点P到直线2x﹣y﹣8＝0的距离的最小值为dmin．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．‎ ‎8.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为 A. 1 B. ‎2 ‎C. -1 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设切点，则，又 ‎，故答案选B．‎ ‎9.设，其中x，y是实数，则 A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为所以故选B.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.‎ ‎10.已知，等于（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数概念，得到，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎11.已知函数f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，若存在，使得，即存在，使得，即在恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，故，所以的取值范围是，故选A.‎ ‎12.已知在上存在三个单调区间，则的取值范围是（　　）‎ A. 或 B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 问题转化为只需有个不相等的实数根即可．‎ ‎【详解】若在上存在三个单调区间， ‎ 只需有个不相等实数根， ‎ 即只需，解得：或， ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则＝___‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由可得焦点坐标为，准线方程为，设过点直线方程为代入抛物线方程，得，化简后为：，设，则有，根据抛物线定义可知，‎ ‎，，故答案为.‎ ‎14.若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞‎0”‎是假命题，则a＝0，或a＜0，或，进而得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞‎0”‎是假命题，‎ 则∃x∈R，ax2+2x+1≤0，‎ 当a＝0时，y＝2x+1为一次函数，满足条件；‎ 当a＜0时，y＝ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；‎ 当a＞0时，y＝ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，‎ 则函数图象与x轴有交点，即△＝4﹣‎4a≥0，‎ 解得：0＜a≤1‎ 综上可得：实数a的取值范围是：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档．‎ ‎15.已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为 ．‎ ‎【答案】0，2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当m=0时，两条直线分别化为：-y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；‎ 当m=1时，两条直线分别化为：x-y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；‎ 当m≠0，1时，两条直线分别化为：y=mx-4，，若两条直线垂直，则m×=-1，解得m=2．‎ 综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直 考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 ‎16.已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点】导数 ‎【名师点睛】求函数的导数的方法：‎ ‎（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎（2）根式形式：先化分数指数幂，再求导；‎ ‎（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；‎ ‎（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；‎ ‎（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为， ，椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得到：，，从而写出椭圆的标准方程； （2）设，利用向量的数量积即可得，结合，利用二次函数求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知可得 所以 因为 所以 所以椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）设，又 ‎ 所以，‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以，即，且，所以，‎ 函数在单调递增，‎ 当时，取最小值为0；‎ 当时，取最大值为12.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎18.设，命题：，，命题：，满足.‎ ‎（1）若命题是真命题，求的范围；‎ ‎（2）为假，为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据题意，求解真：；真：，即可求解；‎ ‎（2）根据为假，为真，得到同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数的取值范围．‎ 详解：（1）p真，则或得；‎ q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，‎ ‎∴p∧q真，．‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则，⇒a≤﹣2， ‎ 若p真q真，则，⇒ ‎ 综上a≤﹣2或． ‎ 点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ ‎19.设,若,,成等差数列．‎ ‎（1）求展开式的中间项；‎ ‎（2）求展开式中所有含x奇次幂的系数和；‎ ‎（3）求展开式中系数最大项．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得a0、a1、a2的值，再根据‎2a1＝a0+a2得到n 的值．‎ ‎（2）在所给的式子中，分别令x＝1、x＝﹣1得到2个式子，把这2个式子变形可得展开式中所有含x奇次幂的系数和．‎ ‎（3）假设第r+1项的系数为，令，由此求得r的范围，可得r的值，从而求得系数最大项．‎ ‎【详解】（1）依题意得  ,,1,．则,,,‎ 由得可得舍去,或,‎ 所以展开式的中间项是第五项为：；‎ ‎（2）,‎ 即．‎ 令则,‎ 令则,‎ 所以 ,所以展开式中含x的奇次幂的系数和为；‎ ‎（3）假设第项的系数为,令,解得：,‎ 所以展开式中系数最大项为和．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．‎ ‎20.已知抛物线C：和直线l：,O为坐标原点．‎ ‎（1）求证：l与C必有两交点；‎ ‎（2）设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx+1，可得2x2﹣kx﹣1＝0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；‎ ‎（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．‎ ‎【详解】（1）证明：联立抛物线C：和直线l：,可得,‎ ‎,与C必有两交点；‎ ‎（2）解：设,,则 因为,,代入,得 又由韦达定理得,,代入得．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．‎ ‎21.已知函数f(x)＝ax2＋ln x，其中a∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是－1，求a的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）a＝－e.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）f′（x）=ax+=，（x＞0）．对a分类讨论：当a≥0时，f′（x）＞0，即可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＜0时，f′（x）=，进而得出单调性．‎ ‎（2）a＜﹣1时，∈（0，1）．由（1）可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，1]上单调递减，可得当x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，利用 ‎=﹣1，解出即可得出．‎ ‎【详解】(1)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．‎ 当a≥0时，f′(x)>0，从而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－ (舍去)．‎ 此时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：‎ x f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  f  ‎∴f(x)的单调增区间是，单调减区间是，＋∞.‎ ‎(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝.‎ 令＝－1，得a＝－2，这与a≥0矛盾，不合题意．‎ ‎②当－1≤a<0时，≥1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝.‎ 令＝－1，得a＝－2，这与－1≤a<0矛盾，不合题意．‎ ‎③当a<－1时，0< <1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f.‎ 令f＝－1，解得a＝－e，符合a<－1.‎ 综上，当f(x)在(0,1]上的最大值是－1时，a＝－e.‎ ‎【点睛】函数的最值 ‎(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎22.已知函数（且）‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，设，若有两个相异零点，求证：.‎ ‎【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由知分，两种情况讨论即得解；（2），设的两个相异零点为，设，因为，，所以，，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数 求导研究单调性即可得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由知 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，‎ 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.‎ ‎（2），设的两个相异零点为，‎ 设，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，.‎ 要证，即证，‎ 即，即，‎ 设上式转化为.‎ 设，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题 ‎ ‎