2018-2019学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题-解析版

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绝密★启用前 辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期初考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求解集合，，根据交集的定义求解即可.‎ 详解：由集合，.，‎ 则.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．设，向量， ，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．‎ 考点：1.向量的数量积；2.向量的模．‎ 视频 ‎3．中国南宋数学家秦九韶（公元1208~1268）在《数书九章》中给出了求次多项式在处的值的简捷算法，例如多项式可改写为后，再进行求值．下图是实现该算法的一个程序框图，该程序框图可计算的多项式为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：依次运行程序框图中的程序后可得多项式的形式．‎ 详解：依次运行程序可得 ‎①，满足条件，继续运行；‎ ‎②，满足条件，继续运行；‎ ‎③，满足条件，继续运行；‎ ‎④，满足条件，继续运行；‎ ‎⑤，不满足条件，停止运行，输出．‎ 故选C．‎ 点睛：解答本题的关键是模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的结果，根据循环结构的条件得到结果．‎ ‎4．在中，内角 的对边分别是 ，若，则一定是（ ）‎ A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理化角为边，得出 是等腰三角形．‎ ‎【详解】‎ 中，c，由余弦定理得， ， ∴‎ ‎ ， ∴是等腰三角形．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和二倍角公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属基础题.‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由三视图可知该组合体为个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可.‎ 详解：由三视图易知，该组合体为：上面是个球，下面是半个圆柱.‎ 表面积为：.‎ 故选B.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎7．函数y=sin2x的图象可能是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎8．如图，在中，，，与交于点,设，，，则为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长交于点，由于，，与交于点，可知：点是的重心．利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示， 延长交于点， ∵，，与交于点， ∴点是的重心. ∴ ‎ ‎∴ ． ∵ ． ∴）为． 故选A.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形重心的性质和向量的平行四边形法则，属于基础题．‎ ‎9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数有零点的概率为(　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由使得函数有零点，得到关于的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个几何概型， ∵使得函数有零点， ‎ ‎ 试验发生时包含的所有事件是 ‎ ‎ 而满足条件的事件是 ， ， 由几何概型公式得到 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的计算，属基础题.‎ ‎10．已知函数的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到的新函数的解析式为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象求出，即可求函数的解析式；根据图象的平移变换，可得的解析式．‎ ‎【详解】‎ 由图象的最高点和最低点可知，，周期 由图象过点 可得： ‎ 即 ． 故函数 ‎ 将其纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，可得：， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．‎ ‎11．在中，，是边上的一点（包括端点），则 的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设 ，求出 ‎ 推导出由此能求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题，是边上的一点（包括端点）， ∴， ∵，是边上的一点（包括端点）， ∴‎ ‎∴， ‎ ‎∴的取值范围是． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数，由f（x）=0，由，可得 ‎ ‎ ，，因此，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ ‎ 由，可得 ‎ 解得 ， ‎ ‎∵ 在区间内没有零点， ‎ ‎.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数，满足，则________.‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ 设，则．‎ ‎∵，‎ ‎∴函数为奇函数．‎ 由题意得，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 答案：‎ ‎14．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元．‎ ‎【答案】85‎ ‎【解析】‎ 分析：由数据计算样本中心,代入回归方程得，将代入求解即可.‎ 详解：由上表可知：.‎ 得样本中心为：代入回归方程，得.‎ 所以回归方程为，‎ 将代入可得：.‎ 故答案为：85.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎15．已知点在直线上，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由条件得,两边平方得，所以.‎ ‎16．设函数 则满足的x的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 若，则 ‎ 则 等价为 ，即 ‎ 则，此时 ， ‎ 当时， ， 当 即 时，满足恒成立， 当，即 时， ， 此时恒成立， 综上 ， 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ ‎】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数；‎ ‎ (1)求在上的最大值及最小值；‎ ‎ (2)若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用倍角公式对函数解析式进行化简，得到由求出的范围，进而求出正弦函数值的范围，再由解析式在上的最大值及最小值；‎ ‎(2)由，得到 则由 可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，最大值为；当时，最小值为. ‎ ‎(2)由已知，且 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数在定区间上的值域，需要对解析式进行适当的化简成正弦型的函数，再利用整体思想求解．‎ ‎18．交警部门从某市参加年汽车驾照理论考试的名学员中用系统抽样的方法抽出名学员，将其成绩（均为整数）分成四段，，，后画出的频率分布直方图如图所示，回答下列问题：‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）估计该市年汽车驾照理论考试及格的人数（不低于分为及格）及抽样学员成绩的平均数；‎ ‎（3）从第一组和第二组的样本中任意选出名学员，求名学员均为第一组学员的概率．‎ ‎【答案】（1）0.06（2）88（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所有小矩形面积和为1 ，可求图中的值；‎ ‎（2）将第四组的频率乘以100%再乘以100即得到该市年汽车驾照理论考试及格的人数．利用各个矩形的宽的中点乘以相应的矩形的长，再将各个乘积加起来即得到这次考试的平均分．‎ ‎（3）样本中第一组人数为3人，设为样本中第二组人数为3嗯，设为 ‎ 列出从第一组和第二组的样本中任意选出名学员基本事件总数，再列出名学员均为第一组学员的事件数，利用固定性求其概率即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）不低于分的人数的频率为 该市年汽车驾照理论考试及格的人数为 ‎ 抽样学员成绩的平均数为：‎ ‎ ‎ ‎（3）样本中第一组人数为，设为 样本中第二组人数为，设为 ‎ 用表示“从第一组和第二组的样本中任意选出名学员”的事件，则所有基本事件有：‎ 共种， ‎ 记事件“从中任意选出名学员均为第一组学员”，则包含的基本事件有：共种， ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．考查了古典概型的概率计算，属基础题.‎ ‎19．在中，内角的对边分别是，已知．‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)设，求周长的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． （2）利用余弦定理和基本不等式求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）依题意得，即∴ ∵∴. ‎ ‎（2）方法一： ∴，即 ‎ 当且仅当时等号成立 ‎ ‎ ∴周长的最大值为 ‎ ‎ 方法二：, ‎ ‎∵,∴.∴当即时，的最大值为. ‎ ‎∴周长的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用．‎ ‎20．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，，M是线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证： 平面；‎ ‎(Ⅲ) 求点到面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连结BD交AC于N，连结EN，证明四边形ANEM是平行四边形，得出AM∥EN从而得出AM∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）设,，证明，可知，则，又 所以 ‎ 又,故平面 ‎ ‎(Ⅲ) ，可求点到面的距离.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）连结BD交AC于N，连结EN，∥AM且EM=AM ∴ ∴AM∥EN ‎ 又因为EN平面BDE 且AM平面BDE ‎ ‎ ∴AE∥平面BDE． ‎ ‎ （Ⅱ）设,‎ ‎ 在矩形中四边形, ，‎ 所以， 为正方形，,故 ‎ 又正方形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为在正方形中，故 由面面垂直的性质定理，-‎ 又 所以 ‎ 又,故平面 ‎ ‎ (Ⅲ),‎ ‎ -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行、线面垂直的判定，点到平面距离的计算，属于中档题．‎ ‎21．在平面直角坐标系xoy中，曲线与坐标轴的交点都在圆c上．‎ ‎（1）求圆c的方程；‎ ‎（2）若圆c与直线x-y+a=0交于A，B两点，且，求a的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆心为，求出曲线与坐标轴的交点坐标，可求半径及圆心，即可得到圆的方程； （2）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ‎ ．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为 ‎ ‎（2）设，，其坐标满足方程组 消去，得方程．‎ 由已知可得，判别式，且，． ‎ 由于，可得．‎ 又， 所以． ‚ ‎ 由‚得，满足，故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．‎ ‎22．已知函数，其中.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据已知求出,再求的值.(2)先求出的表达式，再利用换元法结合三角函数的图像性质求其最大值.‎ 详解：（1）由，得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）.‎ 设，‎ 则.‎ ‎∴‎ 记.‎ ‎①当，即时，‎ ‎；‎ ‎②当，即时，‎ ‎；‎ ‎③当，即时，‎ ‎.‎ 综上，.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角化简求值，考查三角函数最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是 ‎=，其二是得到后，想到换元设, ,再利用二次函数求其最大值.‎