2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若命题：，则为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合特称命题的否定方法否定所给的命题即可.‎ 详解：特称命题的否定为全称命题，修改量词，否定结论，‎ 故若命题：，则为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先求得集合A,B，然后进行交集运算即可求得最终结果.‎ 详解：求解二次不等式可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 表示为集合的形式即.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．若复数满足 是虚数单位，则复数的共轭复数 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，‎ 结合共轭复数的定义可知：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的四则运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点(　　)‎ A． 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B． 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C． 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D． 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数图象的平移问题：在上的变化符合“左加右减”，而在上的变化符合“上加下减”‎ ‎【详解】‎ 把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 再把所得图象再向下平移个单位长度，得到函数的图象 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于指数函数图象平移的题目，关键是要掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减”，属于基础题 ‎5．若函数为偶函数，则等于(　　)‎ A． －2 B． －1 C． 1 D． 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质，，化简求值即可 ‎【详解】‎ 根据偶函数的性质，令 则 即 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性，依据化简求出结果，属于基础题 ‎6．已知函数在区间上的图象是连续的曲线，若在区间上是增函数，则(　　)‎ A． 在上一定有零点 B． 在上一定没有零点 C． 在上至少有一个零点 D． 在上至多有一个零点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断在上有没有零点，即是判断的正负 ‎【详解】‎ 若，则在上有一个零点 若，则在上没有零点 故选 ‎【点睛】‎ 判断某一区间上函数的零点，即使判断区间端点值乘积与的关系，本题也可以数形结合的思想，画图给出结果 ‎7．已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则( )‎ A． 0 B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先确定函数的周期性和函数的奇偶性，然后结合所给的函数的解析式求解的值即可.‎ 详解：由题意可知，函数是周期为2的奇函数，则：‎ ‎，‎ ‎，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f /(x)，且函数y＝(1－x)f /(x)的图像如图所示，‎ 则下列结论中一定成立的是 A． 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B． 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C． 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D． 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．‎ 解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．‎ 又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．‎ 故选D．‎ ‎9．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 单位时间的运输量逐步提高时，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，逐一分析四个答案，可得结论 ‎【详解】‎ 单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快 图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡 故函数的图象应一直下凹的 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的是函数图象的变化特征，函数的增长快慢与图象上的切线斜率大小的关系，属于基础题。‎ ‎10．函数的部分图象大致为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得为奇函数，，排除，当时，可得，在区间 上单调递增，排除即可得到结论 ‎【详解】‎ ‎，定义域为，关于原点对称，‎ ‎，则， 为奇函数，故排除，‎ ‎，故排除 ‎，当时，可得，‎ 当时，，为增函数，故排除 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图象的判断，一般通过函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，变化趋势等知识来解答。‎ ‎11．函数的零点个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先明确函数零点的个数即为方程，即为的解的个数，从而可以转化为函数的图像与直线的交点的个数，画图即可得结果.‎ 详解：在同一个坐标系中画出函数的图像，以及直线，‎ 可以发现两条曲线有三个交点，从而可以得出函数的零点有3个，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，将零点的个数转化为图像交点的个数，在同一个坐标系中，画出两条曲线画出，之后看两条曲线有几个交点，从而得到函数零点的个数来解决.‎ ‎12．设对函数f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)图像上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cos ‎ x图像上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为(　　)‎ A． [－1，2] B． (－1，2) C． [－2，1] D． (－2，1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，进一步求得，再求出的导函数的范围，然后把过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得转化为集合间的关系求解 ‎【详解】‎ ‎，则 ‎，‎ 由，可得 又 要使得过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得 则，解得 即实数的取值范围为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，属于中档题 二、填空题 ‎13．已知幂函数的图像经过，则的值_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数系数为，可以求出的值，再根据幂函数的图像经过，将点的坐标代入函数解析式，求出的值，然后得到结果 ‎【详解】‎ 根据幂函数系数为，得出 将点代入可得 解得 则 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的解析式及其性质，解答本题的关键是利用幂函数的定义，得到，属于基础题。‎ ‎14．计算：＝______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题目中的数字都化为以为底的对数式，再根据对数的运算法则计算结果 ‎【详解】‎ 原式 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算性质，通过运算法则来求出结果，属于基础题 ‎15．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，利用函数在处有极值，建立方程组，求得，的值，再验证，即可得到结论 ‎【详解】‎ 函数在处有极值 ‎，解得或 当时，，方程有两个相等的实数根，不满足题意 当时，，方程有两个不相等的实数根，满足题意 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的导数求极值，解答本题的关键是掌握利用导数研究函数的单调性及极值的方法，注意需要将结果带回检验 ‎16．若不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立，则实数m的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化为几何意义，直线上的点到曲线上的点距离的平方，只要求解直线到曲线的最短距离 ‎【详解】‎ 其几何意义为直线上的点到曲线上的点距离的平方，的导数，令，得，所以曲线上横坐标为的点处切线平行直线，此时切点，到直线的距离最小，最小值为，故，所以恒成立，只要，实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题运用几何意义法来求解，将其转化为曲线与直线之间距离最小情况，在计算过程中只要求出切点到线的距离即可，计算上较为简单，但是转化的思想较为重要和困难 三、解答题 ‎17．在△中，，，点在边上，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求△的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：解法一：由题意可得，则.结合余弦定理有. ‎ ‎（1）在△中，由余弦定理，解方程可得，所以，在△中，由正弦定理可得，结合大边对大角可得 ，则 .‎ ‎（2）设，则，从而，． 在△‎ 中，由余弦定理得解方程可得．故△周长为．‎ 解法二：如图，已知，，所以，则. ‎ 在△中，根据余弦定理，，‎ 所以.‎ ‎（1）在△中，由余弦定理有，解方程可得，再次利用余弦定理可得， 则．故，． ‎ ‎（2）同解法一．‎ 详解：解法一：如图，已知，，‎ 所以，则.‎ 在△中，根据余弦定理，，‎ 所以. ‎ ‎（1）在△中，，，，‎ 由余弦定理，‎ 所以，解得，所以，‎ 在△中，由正弦定理，‎ 所以，，‎ 由，，，在△中，由，得 ‎ ‎，故， ‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ ‎（2）设，则，从而，‎ 故． ‎ 在△中，由余弦定理得，‎ 因为 ，所以，解得． ‎ 所以．故△周长为．‎ 解法二：如图，已知，，所以，则. ‎ 在△中，根据余弦定理，，‎ 所以.‎ ‎（1）在△中，，，，‎ 由余弦定理，‎ 所以，解得，‎ 由余弦定理， ‎ 又因为，所以．‎ 所以，‎ 所以． ‎ ‎（2）同解法一．‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为8，求它在该区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴求出函数的导函数，直接由导函数大于求解不等式得答案 ‎⑵由⑴可知在上为增函数，在上为减函数，求得极值，再求出, ，比较得答案 ‎【详解】‎ ‎(1)由题知： ‎ 令则x<-1或x>3; 令则-10）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得．‎ ‎△=，故． ‎ 所以．‎ 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1． ‎ 因此l的方程为y=x–1． ‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ‎，即． ‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 ‎ 因此所求圆的方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线之间的位置关系，‎ 结合抛物线定义和性质来计算求出结果，理解题目意思，本题还是较为基础 ‎20．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1． ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；‎ ‎（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：‎ ‎①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．‎ 附注：①对于一组数据，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为；‎ ‎②参考数据：．‎ ‎【答案】（1）0.40；（2） 0.29万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由频率分布直方图可得，该汽车交易市场年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，从而得出的概率 ‎⑵①求出关于的线性回归方程为，，分别求出和，继而求出关于的回归方程 ‎②分别求出对应的频率，然后计算平均佣金 ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为 ‎ 所以． ‎ ‎（2）①由得，即关于的线性回归方程为． ‎ 因为，‎ 所以关于的线性回归方程为， ‎ 即关于的回归方程为 ‎ ‎②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 万元 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题。‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求曲线 在点(0,－1)处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当 时， ．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴求导，计算切线的斜率即可得到切线的解析式 ‎⑵构造新函数，求出新函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，即可得证 ‎【详解】‎ ‎（1）， ．‎ 因此曲线在点(0,-1)处的切线方程是．‎ ‎（2）当时，． ‎ 令，则． ‎ ‎∵在R上单调递增，且 ‎∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； ‎ 所以． ‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是导数在研究函数中的应用，在证明不等式成立时适当的进行放缩，然后构造新函数再运用导数来求解，从而得证结果成立，本题有一定难度。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得， 则，结合三角函数的性质计算可得． ‎ 解法二： （1）同解法一 ‎（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知， 则 ‎ 解法三： （1）同解法一 ‎（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆． 的普通方程为， 由弦长公式可得，则是等边三角形，， ‎ ‎ .‎ 详解：解法一：（1）由得的普通方程为， ‎ 又因为， 所以的极坐标方程为．‎ 由得，即， ‎ 所以的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设的极坐标分别为，则 由消去得， ‎ 化为，即，‎ 因为，即，所以，或，‎ 即或所以． ‎ 解法二： （1）同解法一 ‎（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．‎ 将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，‎ 整理得，，解得或． ‎ 设对应的参数分别为 ，则．所以， ‎ 又因为是圆上的点，所以 ‎ 解法三： （1）同解法一 ‎（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． ‎ 又由①得的普通方程为， ‎ 则点到直线的距离为， ‎ 所以，所以是等边三角形，所以， ‎ 又因为是圆上的点，所以 .‎ 点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23．已知函数，，．‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）当时，，零点分段求解不等式可得的解集为．‎ ‎（2）原问题等价于． 结合绝对值三角不等式的性质可得．结合二次函数的性质可得．据此求解不等式可得的取值范围为．‎ 详解：（1）当时，，则 ‎ 当时，由得，，解得； ‎ 当时，恒成立；‎ 当时，由得，，解得． ‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，‎ 所以． ‎ 因为，所以，‎ 且，…①‎ 当时，①式等号成立，即．‎ 又因为，…②‎ 当时，②式等号成立，即．‎ 所以，整理得，， ‎ 解得或，即的取值范围为．‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎