天津市和平区2019-2020学年度第二学期高三第二次质量调查数学试题

天津市和平区2019-2020学年度第二学期高三第二次质量调查数学试题

‎ ‎ 和平区2019—2020学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学学科试卷 第Ⅰ卷 选择题（共45分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.‎ ‎3. 本卷共9小题，每小题5分，共45分.‎ ‎·如果事件，互斥，那么 ‎·如果事件，相互独立，那么 ‎·锥体的体积公式.‎ 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.‎ ‎·球体 其中为球的半径.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1. 设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 已知：，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）.甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）‎ A. 0. 18 B. 0.3 C. 0.24 D. 0.36‎ ‎ ‎ ‎5. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知双曲线：的右焦点为，圆（为双曲线的半焦距）与双曲线的一条渐近线交于，两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知，，则当取最小值时，的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. 4‎ ‎9. 已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共105分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 用黑色水笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.‎ ‎2. 本卷共11小题，共105分.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.‎ ‎ ‎ ‎10. 已知全集为，集合，，则______.‎ ‎11. 的展开式中，项的系数为______.‎ ‎12. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是______.‎ ‎13. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______.‎ ‎14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则______；______.‎ ‎15. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点.则______；若为线段上的一点，且，则的最小值为______.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16. 为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：‎ 组别 性别 数学 英语 男 ‎5‎ ‎1‎ 女 ‎3‎ ‎3‎ 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试.‎ ‎（Ⅰ）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；‎ ‎（Ⅱ）记为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎17. 如图，四边形为平行四边形，，平面，，，‎ ‎ ‎ ‎，，，且是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与直线所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎18. 已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，，为椭圆上关于原点对称的两点，连接，分别交椭圆于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎（Ⅲ）设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19. 已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求的前项和；‎ ‎（Ⅲ）若对恒成立，求的最小值.‎ ‎20. 已知函数，（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ 和平区2019—2020学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学学科参考答案 一、选择题：（45分）‎ ‎1-5：ABABB 6-9：DCCD 二、填空题：（30分）‎ ‎10. 11. 240 12. 13. ； 14. 2；5 15. -9；‎ 三、解答题：‎ ‎16. 解：（Ⅰ）两小组的总人数之比为，共抽取3人，‎ 所以数学组抽取2人，英语组抽取1人. .‎ 从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学、1名女同学；2名女同学.‎ 所以所求概率.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎17. 解：（Ⅰ）证明：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得各点坐标为：‎ ‎，，，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量是，‎ 由，得，‎ 令，则，‎ 又因为，‎ 所以，又平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，所以平面.‎ 故是平面的一个法向量.‎ 所以，又二面角为锐角，‎ 故二面角的大小为.‎ ‎（Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与直线所成的角为，‎ 不妨设，则，，‎ ‎ ‎ 所以，‎ 由题意得，‎ 化简得，‎ 解得，‎ 因为，所以无解.‎ 即在线段上不存在点，使得直线与直线所成的角为.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知：，‎ 解之得：，所以椭圆方程为：.‎ ‎（Ⅱ）若，由椭圆对称性，知，所以，‎ 此时直线方程为，‎ 由，得，解得（舍去），‎ 故.‎ ‎（Ⅲ）①若直线的斜率不存在.则直线的方程为：，‎ 此时：，，，.‎ ‎∴，.‎ ‎∴，即存在满足题意.‎ ‎ ‎ ‎②若直线的斜率存在.设，则，‎ 直线的方程为，代入椭圆方程得：‎ ‎，‎ 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，‎ 又在直线上，所以，‎ 同理，点坐标为，‎ 所以，‎ 即存在，使得.‎ 综合①②知存在满足题意.‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 则由题意可得，解得或，‎ ‎∵数列是公差不为0的等差数列，∴，‎ ‎∴数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，‎ 令，∵，∴随着的增大而增大，‎ 当为奇数时，在奇数集上单调递减，，，‎ 当为偶数时，在偶数集上单调递增，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵对恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎20. 解：（Ⅰ）‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎∵，∴，∴，‎ 所以，故函数在上单调递减，‎ 故；，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎（Ⅱ）原不等式可化为 ‎ 因为恒成立，故式可化为.‎ 令，则，‎ ‎①当时，，所以函数在上单调递增，‎ 故，所以；‎ ‎②当时，令，得，‎ 当时，；当时，.‎ i）当，即时，‎ 函数，‎ ii）当，即时，函数在上单调递减，‎ ‎，解得，‎ 综上，.‎ ‎（Ⅲ）令，则.‎ ‎ ‎ 由，，‎ 故存在，使得即.‎ 且当时，；当时，.‎ 故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，‎ 故函数 ‎，‎ 因为，所以，‎ 故，‎ 所以.‎