江苏省扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

江苏省扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

‎2020届高三年级阶段性学情调研 理科数学试题2019.09‎ 一、填空题：请把答案写在答题纸相应位置.‎ ‎1.设集合,,则____________.‎ ‎【答案】{2,4,6,8}‎ ‎【解析】‎ 分析：‎ 详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以 点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.‎ ‎2.命题“，都有”的否定是______.‎ ‎【答案】，有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.‎ ‎【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“，有”.‎ ‎【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.设，则命题，命题，则是的______条件.（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）.‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较命题和命题中的范围，由此判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】由解得，而，故是的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎4.矩阵的特征值为______.‎ ‎【答案】3和1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可求得特征值.‎ ‎【详解】依题意，特征多项式，令，解得或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查特征值的求法，属于基础题.‎ ‎5.函数的定义域为______‎ ‎【答案】(1，3]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数与对数函数的性质，列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】要使函数有意义，‎ 则，‎ 解得，‎ 即函数的定义域为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) ‎ 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎6.已知，，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题目所给指数式改写为对数式，然后根据对数运算，求得的值.‎ ‎【详解】依题意，，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎7.在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的图像向右平移 个单位得，因为过坐标原点，所以 ‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】要使在上递增，根据复合函数单调性，需二次函数对称轴在的左边，并且在时，二次函数的函数值为非负数，即，解得.即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.‎ ‎9.在中，角的对边分别为，已知______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由及正弦定理得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴.‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ ‎10.已知，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求得的值.将所求表达式化为只含的式子，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意.‎ 而.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式和降次公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得.所以填.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.‎ ‎12.在锐角中，，点在边上，且与面积分别为2和4，过作于，于，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式表示出、和的面积，化简后代入向量数量积，由此求得数量积的值.‎ ‎【详解】因为，且为锐角，所以，根据三角形面积得，所以，所以.而，化简得 ‎.所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查向量数量积运算，考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查整体与部分的思想.，属于中档题.‎ ‎13.设且则使函数在区间上不单调的的个数是______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为在区间上有对称轴来解决，列出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，从而确定个数.‎ ‎【详解】由于函数在区间上不单调，故在区间上有对称轴，由，有，故，由于，故有，即，求得，故填.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、对称性，考查一元一次不等式的解法，属于中档题.‎ ‎14.已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，对分成，等种情况，研究零点个数，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】令，画出函数的图像如下图所示，由图可知，‎ ‎（1）当或时，存在唯一，使，而至多有两个根，不符合题意.‎ ‎（2）当时，由解得，由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故时，符合题意.‎ ‎（3）当时，由解得，由化简得，其判别式为负数，没有实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当时，不符合题意.‎ ‎（4）当时，由，根据图像可知有三个解，不妨设.‎ 即 即.‎ i）当时，，故①②③三个方程都分别有个解，共有个解，不符合题意.‎ ii)当时，，①有个解，②③分别有个解，共有个解，不符合题意.‎ iii）当时，，①无解，②③分别有个解，共有个解，符合题意.‎ iv）当时，，①无解，②有个解，③有两个解，共有个解，不符合题意.‎ v）当时，，①无解，②无解，③至多有个解，不符合题意.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，难度较大，属于难题.‎ 二、解答题：请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且，求角的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数的定义求得的值，然后利用二倍角公式求得的值，进而求得的值.（2）先求得的范围，由此求得 的值，利用以及两角差的正弦公式，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】解：（1）角的终边上有一点P∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）由，得 ‎∵‎ ‎∴‎ 则 因，则.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，属于中档题.‎ ‎16.已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用判别式求得为真时的取值范围.根据指数函数的单调性求得为真时的取值范围.由于为真命题，所以真真，求两个的范围的交集，得到最终的取值范围.（2）求得假真时的取值范围，即集合，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】解:（1）由为真命题知，解得，所以的范围是，‎ 由为真命题知，，，取交集得到.‎ 综上，的范围是.‎ ‎（2）由（1）可知，当为假命题时，；为真命题，则解得：‎ 则的取值范围是即，‎ 而，可得，‎ 解得：‎ 所以，的取值范围是 ‎【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题.‎ ‎17.在中，，，分别为角，，所对边的长，.‎ ‎（1）求角的值：‎ ‎（2）设函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值.（2）首先化简为的形式，在根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）在中，因为，‎ 由正弦定理，‎ 所以．‎ 即，‎ 由余弦定理，得．‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）因为 由（1）可知，且在中，‎ 所以，即 所以，即 所以的取值范围为 ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎18.如图，在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路 和，现计划在和路边各修建一个物流中心和.‎ ‎（1）若在处看，的视角，在处看测得，求，；‎ ‎（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设，公路的每千米建设成本为万元，公路的每千米建设成本为万元.为节省建设成本，试确定，的位置，使公路的总建设成本最小.‎ ‎【答案】（1），；（2）当为，且为时，成本最小．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用，以及的展开公式列方程，解方程求得的值.（2）利用表示出，由此求得总成本的表达式，利用导数求得为何值时，总成本最小.‎ ‎【详解】解：（1）在中，由题意可知，，则．‎ 在中，，在中 因为，所以，‎ 于是 所以 答：，‎ ‎（2）在中，由题意可知，则．‎ 同理在中，，则．‎ 令，，‎ 则，‎ 令，得，记，，‎ 当时，，单调减；‎ 当时，，单调增．‎ 所以时，取得最小值，‎ 此时，．‎ 所以当为，且为时，成本最小．‎ ‎【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查解直角三角形，考查利用角度表示边长，考查实际应用问题的求解策略，考查利用导数求最小值，属于中档题.‎ ‎19.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.‎ ‎（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；‎ ‎（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）不是“依赖函数”；（2），（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取特殊值，得到，无解，由此证得不是“依赖函数”.（2）根据的单调性和函数值为正数，得到，化简后求得的关系式，代入并化简，利用二次函数单调性求得的取值范围.（3）对分成，，两种情况，根据“依赖函数”的定义，求得的值.由此化简不等式，利用判别式和对钩函数的性质，求得实数的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）对于函数的定义域内存在，则，无解.‎ 故不是“依赖函数”；‎ ‎（2）因为在递增，故，即，‎ 由，故，得，‎ 从而在上单调递增，故，‎ ‎（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；‎ ‎②若故在上单调递减，‎ 从而，解得（舍）或.‎ 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，‎ 即恒成立，由，‎ 得，由，可得，‎ 又在单调递减，故当时，，‎ 从而，解得，‎ 综上，故实数的最大值为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查指数运算以及二次函数的性质，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，考查对勾函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20.己知函数在处的切线方程为，函数.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）设（表示，中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）极小值，无极大值．（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数导数，利用切点坐标和函数在时切线的斜率也即导数列方程组，解方程组求得的值，进而求得函数的解析式.（2）先求得的定义域和导函数，对分成两种情况，通过函数的单调性讨论函数的极值.（3）先根据（1）判断出有且仅有一个零点，故需在上有仅两个不等于1的零点.根据（2）判断出当时，没有三个零点；当时，通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用，证得分别在，分别有个零点，符合题意.由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为在处的切线方程为 所以，‎ 解得 所以 ‎（2）的定义域为，‎ ‎①若时，则上恒成立，‎ 所以在上单调递增，无极值 ‎②若时，则当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ 所以当时，有极小值，无极大值．‎ ‎（3）因为仅有一个零点1，且恒成立，‎ 所以在上有仅两个不等于1的零点．‎ ‎①当时，由（2）知，在上单调递增，‎ 在上至多一个零点，不合题意，舍去 ‎②当时，，在无零点 ‎③当时，，当且仅当等号成立，在仅一个零点 ‎④当时，，，所以，‎ 又图象不间断，在上单调递减 故存在，使 又 下面证明，当时，‎ ‎，在上单调递增 所以，‎ 又图象在上不间断，在上单调递增，‎ 故存在，使 综上可知，满足题意的的范围是 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用函数图像上某点的切线方程求函数解析式，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ ‎21.己知矩阵.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据逆矩阵的求法，求得的逆矩阵.（2）设出上任意一点的坐标，设出其在矩阵对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入方程，化简后可求得的方程.‎ ‎【详解】解（1）设所求逆矩阵为，则 ‎，即，解得，所以.‎ ‎（2）设曲线上任一点坐标为，在矩阵对应变换作用下得到点，‎ 则，即，‎ 解得.‎ 因为，所以，整理得，‎ 所以的方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为；的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去曲线参数方程的参数，得到的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得的直角坐标方程.（2）设出曲线的参数方程，利用点到直线距离公式求得点到曲线的距离的表达式，再根据三角函数最值求得到曲线的最小距离.‎ ‎【详解】解:（1）消去参数得到，‎ 故曲线的普通方程为 ‎，由 得到，‎ 即，故曲线的普通方程为 ‎（2）设点的坐标为，‎ 点到曲线的距离 所以，当时，的值最小，‎ 所以点到曲线的最小距离为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查椭圆上的点到直线的最小距离的求法，考查三角函数辅助角公式以及最值的求法，属于中档题.‎ ‎23.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为 的中点，，.‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，设相交于，连接，.通过等腰三角形的性质、面面垂直的性质定理，以及正方形的性质，证得,由此以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（2）利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）取中点，设相交于，连接，.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面平面，且平面，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为是正方形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，则，即.‎ 令，则，.于.‎ 平面的法向量为，所以.‎ 由题知二面角为锐角，所以它的大小为.‎ ‎（2）由题意知，，.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求二面角、线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎24.袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.‎ ‎（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎（2）求随机变量的分布列和期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列见解析；期望是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算出一次取出的个小球上有两个数字相同的概率，然后用减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.‎ ‎【详解】解:（1）一次取出的个小球上的数字互不相同的事件记为 则为一次取出的个小球上有两个数字相同 ‎∴‎ ‎（2）由题意可知所有可能的取值为：2，3，4，5‎ ‎；；‎ ‎；‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 则 答：随机变量的期望是 ‎【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.‎ ‎ ‎