2020高中数学 第一章 三角函数

2020高中数学 第一章 三角函数

三角函数的诱导公式（2）‎ 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 三角函数的诱导公式（五、六）‎ ‎1. 能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六；‎ ‎2. 掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题 填空 解答 ‎ 三角函数的诱导公式是三角函数的基础，注意掌握公式的本质，并灵活应用 二、重难点提示 重点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明。‎ 难点：诱导公式五、六的推导。‎ ‎◆ 两组诱导公式推导及作用 ‎1. 终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式（公式五）‎ 设角α的终边与单位圆交于P（cosα，），角－α的终边与单位圆的交点，因为角α的终边与角-α的终边关于x轴对称，所以P与关于x轴对称，所以sin（－α）＝cosα；cos（－α）＝sinα.，‎ 故诱导公式五：‎ sin（－α）＝cosα；‎ cos（－α）＝sinα.‎ ‎2. ＋α型诱导公式（公式六）‎ 其推导方法也可类似于公式五的方法，也可由公式二和公式五推出。‎ sin（＋α）＝sin[－（－α）]＝cos（－α）＝cos α，‎ cos（＋α）＝cos[－（－α）]＝sin（－α）＝－sin α。‎ 故诱导公式六：‎ sin（＋α）＝cosα；‎ cos（＋α）＝－sinα。‎ 4‎ ‎3. 诱导公式五、六的记忆方法和作用 ‎（1）±α的正弦（余弦）函数值，等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”。‎ ‎（2）利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。‎ ‎【规律总结】‎ 六组诱导公式的记忆方法 k·＋α（k∈Z）的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k的取值是奇数还是偶数。‎ 注意：‎ 我们在记忆时虽然把公式中的角看做锐角去记，但实际上六组公式中的可以是任意角。‎ 例题1 （给值求值）‎ ‎（1）已知sin（π＋A）＝－，则cos（π－A）的值是________。‎ ‎（2）已知sin（－α）＝，则cos（＋α）的值是________。‎ 思路分析：‎ ‎（1）先化简sin（π＋A）＝－得sin A＝，再利用诱导公式化简cos（－A）即可。‎ ‎（2）探索已知角－α与＋α之间的关系，根据诱导公式将cos（＋α）化为－α的三角函数求解。‎ 答案：（1）sin（π＋A）＝－sin A＝－，∴sin A＝，cos（－A）＝cos（π＋－A）＝－cos（－A）＝－sin A＝－。‎ ‎（2）∵（－α）＋（＋α）＝，‎ ‎∴＋α＝－（－α），‎ ‎∴cos（＋α）＝cos[－（－α）]＝sin（－α）＝。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值。‎ 4‎ ‎2. 巧用相关角的关系会简化解题过程。常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等；常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等。‎ 例题2 （化简问题）‎ 化简：‎ 思路分析：解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式。‎ 答案：‎ 原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝＝＝1.‎ 技巧点拨：‎ 用诱导公式化简求值的方法：‎ ‎（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少。‎ ‎（2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名。‎ 三角函数问题中的方程思想 ‎【满分训练】是否存在角α，β，α∈（－，），β∈（0，π），‎ 使同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由。‎ 4‎ 思路分析：先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解。‎ 答案：将已知方程组化为 ‎①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝，‎ ‎∵α∈（－，），‎ ‎∴cos α＝，∴α＝或－，‎ 将α＝代入②得cos β＝，‎ ‎∵β∈（0，π），∴β＝，‎ 将α＝，β＝代入①，符合条件，‎ 将α＝－代入②得cos β＝，‎ ‎∵β∈（0，π），∴β＝，‎ 将α＝－，β＝代入①，不符合条件，舍去，‎ 综上可知存在满足条件的角α，β，α＝，β＝。‎ 技巧点拨：‎ 首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin2α＋cos2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角，建立方程是解题的关键。‎ 4‎