2018-2019学年河北省沧州市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河北省沧州市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省沧州市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）‎ A．420人 B．480人 C．840人 D．960人 ‎【答案】C ‎【解析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，‎ 又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.‎ ‎2．已知命题，总有，则为( )‎ A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎【答案】B ‎【解析】由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果.‎ ‎【详解】‎ 命题，总有的否定为：，使得，故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有一个量词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基础题型.‎ ‎3．从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动，则2人中恰好有1名女生的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用古典概型概率公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：从2名男生和2名女生选出2名参加某项活动，‎ 基本事件总数n，‎ ‎2人中恰好有1名女生包含基本事件的个数为：，‎ ‎∴2人中恰好有1名女生的概率为p＝‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率.‎ ‎4．点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为3，则点到轴的距离为 A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用抛物线定义即可得到点到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1，‎ 根据抛物线定义，‎ ‎∴yM+1＝3，‎ 解得yM＝2，‎ ‎∴点M到x轴的距离为2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ ‎5．管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数据，得到下面的茎叶图：‎ 由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】由茎叶图中的数据计算出平均数和方差即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可得：，‎ 所以，‎ ‎,‎ 所以，‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图，由茎叶图中数据计算平均数和方差，熟记公式即可，也可根据茎叶图的特征判断，属于基础题型.‎ ‎6．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线焦点位置设出双曲线方程，再由渐近线的斜率即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，‎ 又渐近线方程为，所以,所以双曲线方程可能为 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程，由渐近线方程可确定a,b的比值，进而可确定双曲线的方程，属于基础题型.‎ ‎7．为函数图象上一点，当直线，与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 直线，与函数的图象围成区域的面积Sdx ‎＝‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．‎ ‎8．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离，再与实轴比较大小，列出不等式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为，‎ 所以焦点到渐近线的距离为，整理得：，‎ 故.‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质，由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，根据题意列出不等式即可求解，属于基础题型.‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，如图输出的的值为2，则判断框中的条件可能是（ ）‎ A．？ B．？ C．？ D．？‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据程序框图逐步执行循环结构，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 第一步：由初始值得：；继续执行循环；‎ 第二步：，，此时，结束循环，故判断框中应填？‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图，由程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.‎ ‎10．如图，在三棱锥中，，平面，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取PC的中点为E，连接EO，易证OE⊥平面PAC，即∠OCE为直线与平面所成角.‎ ‎【详解】‎ 取PC的中点为E，连接EO，可得OE∥BC，‎ ‎∵平面，平面ABC，‎ ‎∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，‎ ‎∴OE⊥平面PAC，‎ ‎∴∠OCE为直线与平面所成角，‎ 设，OE=1.，OC=‎ ‎∴cos∠OCE=‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面所成的角的作法和求法，解题时要按作、证、算三步规范解题，要能熟练的将空间问题转化为平面问题加以解决 ‎11．若函数在上有极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数在上有极值点，得到其导函数所对应的方程在上有实根，分类讨论即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由函数在上有极值点，‎ 可得在上有实根，‎ 又恒成立，所以方程必有实根，由得函数过点,‎ 所以当时，函数开口向下，对称轴在轴左侧，故此时与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;‎ 当时，与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;‎ 当时，函数开口向上， 又函数过点，所以无论对称轴在轴的任何一侧，都能满足函数与轴正半轴有交点，即方程在上有实根；‎ 综上，实数的取值范围是：‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，由函数在某区间有极值，可得其导函数所对应的方程在某区间内有实根，通常用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.‎ ‎12．直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先设，，三点坐标，由 ，，三点的横坐标依次成等差数列，以及为边上的中线可表示出的坐标，再由点差法求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设，，，因为，，三点的横坐标依次成等差数列，‎ 所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，‎ 因为，在抛物线上，‎ 所以有，两式作差可得,‎ 所以,‎ 所以直线的方程为，即，‎ 由得：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故.‎ 故选Ｄ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及题中条件即可求解，属于常考题型．‎ 二、填空题 ‎13．函数，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，再将代入即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型.‎ ‎14．如图，，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于点，则的周长为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，是的外角平分线，‎ 所以，所以，又，所以，‎ 又由椭圆的方程可得：，‎ 所以的周长为.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.‎ ‎15．如图，边长为的正三角形内接于圆，点为弧上任意一点，则的面积大于的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，点由点向点移动的过程中，的面积越来越大，结合古典概型中与角度有关的几何概型即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的边长为，所以的高为设外接圆的半径为，则，所以，,所以点到的距离为，过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，所以点由点向点移动过程中，的面积越来越大；点由点向点移动过程中，的面积越来越小，因此，为使的面积大于，只需点由点向点移动，所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比.‎ 因，所以的面积大于的概率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型，根据题意，将问题转化为求圆心角之比即可，属于基础题型.‎ ‎16．已知函数，其图象上存在两点，，在这两点处的切线都与轴平行，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，由题意函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，即是在上有两不等实根，再由导数的方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，由函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，所以在上有两不等实根，即在上有两不等实根；即直线与曲线在上有两个不同交点.‎ 因，由得，由得;‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以有最小值；又，当时，，‎ 所以为使直线与曲线在上有两个不同交点，只需.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．命题：实数满足集合，：实数满足集合.‎ ‎（1）若，为真命题，求集合，；‎ ‎（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）解绝对值不等式与分式不等式，即可得到集合，；‎ ‎（2）是成立的充分不必要条件，即，建立不等式组，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，∴.‎ ‎∴.‎ 由，解得.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵是成立的充分不必要条件，∴.‎ ‎∴∴，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的解法，集合的有关概念及运算等基本知识，属基础题．‎ ‎18．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014～2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量 ‎（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：‎ 年份 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 补贴额亿元 ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎8‎ 粮食产量万亿吨 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎21‎ ‎（Ⅰ）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（Ⅰ）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）（2）粮食产量大约为18.7万亿吨.‎ ‎【解析】（1）由最小二乘法求出a,b的估计值，进而可得回归直线方程；‎ ‎（2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知数据，可得，‎ ‎.‎ 代入公式，经计算，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴所求关于的线性回归直线方程为.‎ ‎（2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得.‎ ‎∴2019年该地区的粮食产量大约为18.7万亿吨.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题，由最小二乘法先求出a,b的估计值，进而即可求解，属于基础题型.‎ ‎19．某校高二（20）班共50名学生，在期中考试中，每位同学的数学考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：，，，，，，，绘制出频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数；‎ ‎（2）已知成绩为104分或105分的同学共有3人，现从成绩在中的同学中任选2人，则至少有1人成绩不低于106分的概率为多少？（每位同学的成绩都为整数）‎ ‎【答案】（1）中位数为114，平均数为114.32（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据中位数的两边概率相等，即可求出中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和即可求出平均数；‎ ‎（Ⅱ）先由题意求出成绩在的人数，对成绩为104分或105分的同学和成绩为106分、107分的学生编号，用列举法结合古典概型的概率计算公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图，知，‎ 所以学生成绩的中位数为.‎ 平均数为 ‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以成绩在之间的学生共有6人.‎ 设成绩为104分、105分的学生为，，，成绩为106分、107分的学生为，，.‎ 从6人中任选2人，共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，其中恰好2人都不低于106分的有，，共3种情况，‎ 所以从成绩在中的同学中任选2人，则恰好2人成绩都不低于106分的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据频率分布直方图求中位数、平均数的问题以及古典概型的概率计算公式的问题；频率分布直方图中的中位数两边概率之和相等，根据每组的中间值乘该组的频率再求和即可求出平均数；列举法处理古典概型的问题是常用的做法，属于基础题型.‎ ‎20．在如图（1）所示的四边形中，，，，.将沿折起，使二面角为直二面角（如图（2）），为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】(1)由题意可得平面，故 . 以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，明确平面BOP的法向量与AD的方向向量，利用二者共线，即可证得；‎ ‎（2）求出平面的法向量，利用法向量的夹角余弦即可得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由题，知，.‎ 又∵二面角为直二面角，∴平面.‎ 又∵平面，∴.‎ 以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴由平面几何知识，可得，，，，.‎ ‎∵为的中点，∴.‎ 设平面的法向量为.‎ ‎∴即 令，则.∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）解：设为中点，连接，如图.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面，交线为.‎ 又∵为等边三角形，∴.‎ 又∵平面.∴平面.∴是平面的法向量.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21．椭圆的右焦点为，为圆与椭圆的一个公共点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试问过，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）根据题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）（1）由题意，设的方程为，联立方程可得，利用韦达定理即可得到结果；（2）直线的方程为，可化为 .从而得到定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）解：设是椭圆的左焦点，连接，，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ 又∵，，∴.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）（1）证明：① 当直线斜率为0时，的方程为，∴，等式显然成立；‎ ‎②当直线斜率不为0时，由题意，设的方程为.‎ ‎∵，，点为点关于轴的对称点，则.‎ 整理，得.‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎∴等式成立.‎ ‎（2）解：过，的直线过定点.‎ ‎①当直线斜率不为0时，∵，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即，‎ 即.‎ 由（1）可知，，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎∴ .‎ ‎∴过，的直线过定点；‎ ‎②当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.‎ 综上可知，过，的直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，‎ 而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3） 求证：当时，恒成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】（1）求出函数的导函数，得到切线斜率，利用点斜式得到切线方程；‎ ‎（2）解不等式即可得到函数的单调区间；‎ ‎（3）要证恒成立，即证恒成立.分别求左侧函数与右侧函数的最小值与最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：∵，，‎ ‎∴.‎ ‎∴.又∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴函数在点处的切线方程为.‎ ‎（2）解：函数的定义域为.‎ ‎，‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（3）证明：由，得，‎ ‎∴要证恒成立，即证恒成立.‎ 令，，.‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数.‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数.‎ ‎∴.‎ ‎∴恒成立.‎ ‎∴当时，恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.(3)构造双函数，求函数的最值即可.‎