数学理卷·2018届天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二下学期期中联考（2017-04）

数学理卷·2018届天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二下学期期中联考（2017-04）

‎2016—2017学年度第二学期期中六校联考 高二数学（理）试卷 命题人:宝坻一中 ‎ 第I卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．正弦函数是奇函数，因为是正弦函数，所以是奇函数．以上推理 A．结论正确 B．大前提错误 C．小前提错误 D．以上都不对 ‎3．当x在(－∞，＋∞)上变化时，导函数的符号变化如下表：‎ x ‎(－∞，1)‎ ‎1‎ ‎(1,4)‎ ‎4‎ ‎(4，＋∞)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 则函数的图象的大致形状为(　　)‎ ‎ ‎ ‎4．已知函数上任一点处的切线斜率，则函数的极值点的个数 ‎ A．0个 B．1个 C．两个 D．三个 ‎5．若则的值是（ ）‎ A． 6 B． 4 C． 3 D． 2．‎ ‎6．若函数有最大值，则a的值是 A． B． C． D．‎ ‎7．设在上可导，且，则当时有 A. B.‎ C. D. ‎ ‎8．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，2017所在的位置是(　　)‎ A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．设是虚数单位，是纯虚数，则实数的值是 ．‎ ‎10．若函数有极值，则实数的取值范围是 ．‎ ‎11．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 ．‎ ‎12．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为________时最省材料．‎ ‎13．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是______．‎ ‎14．定义：如果函数在区间上存在，满足，,则称函数在区间 上是一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知曲线与在第一象限内交点为P．‎ ‎（1）求过点P且与曲线相切的直线方程；‎ ‎（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．‎ ‎16．（本小题满分13分）设函数．‎ ‎（1）当时，求曲线处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求的极大值和极小值．‎ ‎17．（本小题满分13分）已知函数 ‎ （1）求函数的极值； ‎ ‎（2）设函数，若函数在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．‎ ‎18． （本小题满分13分）已知数列，，，，为该数列的前项和．‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎19．（本小题满分14分） 已知直线与函数的图像相切于点．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）证明除切点外，直线总在函数的图像的上方；‎ ‎（3）设是两两不相等的正实数，且成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎20．（本小题满分14分）已知函数．‎ ‎（1）当时，证明函数在是单调函数；‎ ‎（2）当时，函数在区间上的最小值是，求的值；‎ ‎（3）设，是函数图象上任意不同的两点，记线段的中点的横坐标是，证明直线的斜率．‎ ‎ ‎ ‎2016—2017学年度第二学期期中六校联考高二数学（理）答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．【A】2．【C】3．【C】4．【B】5．【D】6．【B】7．【D】8．【B】‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．; 10．; 11．; 12．4; 13．; 14．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（1）由，得，所以 所求切线方程………………6分 ‎（2）…………………………13分 ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（1）当……2分 ‎ ∴……4分 即为所求切线方程．………………5分 ‎（2）当……6分 令………………8分 ‎∴递减，在（3，+）递增………．11分 列表………．11分 ‎∴的极大值为…………13分 ‎17．（本小题满分13分）‎ 解:（Ⅰ）因为 ………………………………………………1分 令，因为，所以 …………………………………………2分 ‎1‎ ‎0‎ 极小值 所以 ………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）‎ 所以 ………………………………………………6分 令得 ………………………………………………………7分 当时，；当时， ‎ 故在上递减；在上递增 ………………………9分 ‎ 所以 即 ………………………12分 ‎ 所以 ‎ 实数的取值范围是 …………………………………13分 ‎18． （本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）．………………………………………4分 ‎（Ⅱ）猜想，…………………………………………………6分 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，，猜想成立；……………………………………7分 ‎② 假设当时，猜想成立，即，…………………………8分 当时，……………………………………9分 故当时，猜想成立． ……………………………………………………12分 由①②可知，对于任意的，都成立．…………………13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（1）设切点为，则．‎ 由，有，解得，‎ 于是，得．………………………………………………………2分 ‎（2）构造函数，其导数．‎ 当时，；当时，；‎ 所以在区间单调递减，在区间单调递增．‎ 所以．‎ 因此对于，总有，‎ 即除切点外，直线总在函数的图像的上方．……………………………7分 ‎（3）因为是两两不相等的正实数，所以．‎ 又因为成等比数列，所以，‎ 于是．‎ 而，‎ ‎．‎ 由于，且函数是增函数，因此 ‎，‎ 故．…………………………………………………………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎（1）解：．‎ 因为，，所以．∴函数在是单增函数；………2分 ‎（2）解：在上，分如下情况讨论：‎ ‎1．当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；‎ ‎2．当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；‎ ‎3．当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，‎ ‎∴函数的最小值为，得．………………………………8分 ‎（3）证明：当时，,．‎ 又,不妨设，‎ 要比较与的大小，即比较与的大小，又因为，‎ 所以即比较与的大小．‎ 令，则∴在上是增函数．‎ 又，∴，，即．…………14分