2017-2018学年湖北省宜昌市协作体高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省宜昌市协作体高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省宜昌市协作体高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：分子分母分别化简整理，得出即可。‎ 详解：,故选A 点睛：复数的除法运算公式。‎ ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，焦点在轴负半轴上，准线方程为．‎ ‎【考点】抛物线的性质．‎ ‎3．执行如图的程序框图，则输出的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：；，；，；，；，；输出A，.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A. 若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B. 若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C. 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D. 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：将条件和结论同时否定，再将条件换成结论，结论换成条件。‎ 详解：将条件和结论同时否定，再将条件换成结论，结论换成条件，则：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 点睛：本题考查四种命题的关系，否命题是将条件和结论同时否定；逆命题是将条件换成结论，结论换成条件。‎ ‎5．对具有线性相关关系的变量,测得一组数据如下表：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。‎ 详解：，，代入方程，解得 点睛：回归直线方程必过样本中心。‎ ‎6．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为，所以对于椭圆而言，，结合离心率等于，可知，所以方程为，故选D．‎ ‎【考点】抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程．‎ ‎7．设，则（ ）‎ A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断单调性 详解：定义域为故为奇函数，恒成立，故选B 点睛：函数性质的判断先要求定义域，奇偶性只能根据定义判断，单调性往往利用其导函数。‎ ‎8．已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求的解集，再用集合的关系判断充分条件、还是必要条件。‎ 详解：，那么是的子集，故充分非必要条件，选A 点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。‎ 是真子集，是真子集。‎ ‎9．（2017新课标全国Ⅱ理科）设，满足约束条件，则的最小值是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为．故选A．‎ ‎【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）‎ A. 8 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式 详解：在长方体中，连接，‎ 根据线面角的定义可知，‎ 因为，所以，从而求得，‎ 所以该长方体的体积为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.‎ ‎11．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.‎ 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，‎ 可以确定点M和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，‎ 所以所求的最短路径的长度为，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.‎ ‎12．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于答案A，函数，是正确的；对于答案B，不妨设都是单调递增函数，是正确的；对于答案C，不妨设都是单调递增函数，是正确的；对于答案D ，不妨设，显然不一致，是不正确的；应选答案D。‎ ‎13．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：“，使得成立”为假命题，则，使得恒成立为真，再解的取值范围。‎ 详解：“，使得成立”为假命题，则，使得恒成立为真。‎ 点睛：‎ 已知命题的真假求参数的取值，往往都把命题往真的上面靠，假命题转换为真命题。 ‎ 二、填空题 ‎14．双曲线的渐近线方程为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，可得，即．‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为．‎ 答案：‎ ‎15．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：，整理关于的表达式，关于的方程各项为0，求解 详解：整理关于的表达式，关于的方程各项为0，，解得，恒过定点，以为圆心，半径为的圆为：‎ 点睛：直线含参方程恒过定点整理参数的方程其他的看成参数的系数，令参数的各项系数为0即可。‎ ‎16．设，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立。‎ ‎∴的最小值为3。‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎17．已知：方程有两个不等的实数根，：方程 无实根，若或为真，且为假，求实数的范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用真值表判断、的真假性，分别解、为真时的解集，为假时取为真时的补集。‎ 详解：或为真，且为假，由这句话可知、命题为一真一假． ‎ ‎①当真假时， ，得 ‎ ‎②当假真时，，得 ‎ 综上所述 的范围是 点睛：利用真值表判断、的真假性，再解、为真时的解集，不要受题目的干扰，为假时取为真时的补集。‎ ‎18．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：‎ 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟）‎ ‎[30,40）‎ ‎[40,50）‎ ‎[50,60）‎ ‎[60,70）‎ ‎[70,80]‎ 男生人数 ‎5‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎15‎ 女生人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；‎ ‎（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？‎ 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计 男生 女生 合计 附：公式，其中 ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ ‎【答案】（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”．‎ ‎【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数 ‎（2）先填表，再利用卡方公式计算 详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于分钟的人数,‎ 依据题意有，解得：，‎ 所以估计其中上网时间不少于分钟的人数是225人.  ‎ ‎（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：‎ 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计 男生 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 女生 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ 其中, ‎ 因此，没有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.‎ 点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算。‎ ‎19．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎（1）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由菱形性质得AC⊥BD.再由线面垂直性质得AC⊥BE，因此AC⊥平面BED.最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先确定各面形状，再根据勾股定理求对应量，最后根据面积公式求各面面积，和为侧面积 试题解析：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.‎ 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.‎ 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.‎ ‎(2)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=x，GB=GD=.‎ 因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG=x.‎ 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE=x.‎ 由已知得，三棱锥E-ACD的体积 VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=.‎ 故x=2.从而可得AE=EC=ED=.‎ 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.‎ 点睛：证明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的定义(不常用)；(2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法)．‎ ‎20．已知椭圆E：的离心率，并且经过定点（0,1）.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；‎ ‎（Ⅱ）问是否存在直线，使直线与椭圆交于 A，B 两点，满足，若存在，求 m 值，若不存在说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，．‎ ‎【解析】分析：（1）根据离心率的公式和定点坐标求解方程 ‎（2）利用条件，列出交点坐标的关系式，根据韦达定理转化为参数的关系式求解即可。‎ 详解：（Ⅰ）因为E经过点（0， 1），所以， ‎ 又因为椭圆E的离心率为 所以，‎ 所以椭圆E的方程为： ．‎ ‎（Ⅱ）设 ‎（）‎ 所以，‎ ‎ …10分 由 得 ‎．‎ 又方程（）要有两个不等实根，‎ m的值符合上面条件，所以．‎ 点睛：椭圆的几何性质求解方程是常规考点，根据题目的条件利用向量的表达式列出，交点坐标的关系式，根据韦达定理转化为参数的关系式求解。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】分析：（1）先求一阶导函数，，求参数的值 ‎（2）在定义域上为增函数，转化为恒成立，已知不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，转化为求函数的最值问题。‎ ‎（3）一阶导函数，是方程的两正根，列出两根的关系式，用去表示，不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，转化为求函数的最值问题 详解：（Ⅰ） ．‎ ‎（Ⅱ）的定义域为，函数在定义域上为增函数，‎ 在上恒成立， ‎ 即在上恒成立，‎ 可得，实数的取值范围．‎ ‎（Ⅲ），有两个极值点且 是方程的两正根，，‎ 不等式恒成立，即恒成立，‎ ‎ ，‎ 由得 ‎ 令 ‎ 令 ，‎ 即得 即 在上是减函数，‎ ‎ 故 ． ‎ 点睛：等价转化是解决本题的关键，导数是研究函数性质的基本工具，已知不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，构造函数，求的最值问题。‎ ‎22．（选修4-4）：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数)，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求||的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）8．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出曲线的直角坐标方程 ‎（2）利用弦长公式求解即可。‎ 详解：(Ⅰ)由，得， ‎ 所以曲线C的直角坐标系方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由题意直线方程为，代入曲线，得， ‎ 设两点的坐标分别为，，‎ 则 ， ‎ 又，， ‎ ‎ ，即的值为8.‎ 点睛：本题很基础，先画图分析用哪种方法，不要盲目的带直线的参数方程。‎ ‎23．（选修4-5）：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的定义域为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】分析：（1）先将化简为绝对值函数，对的取值分类探讨，去绝对值符号，利用函数图像解不等式。‎ ‎（2）先将恒成立问题转化为最值问题，利用绝对值三角不等式求最值。‎ 解析：（Ⅰ） ， 而， 时，，解得， 时，，解得， ‎ ‎ 的解集为． ‎ ‎（Ⅱ）函数的定义域为，恒成立，‎ ‎ 即在上无解，又， ．‎ 点睛：解绝对值不等式主要去绝对值符号，要去绝对值，必然有分类讨论，为避免分类讨论，可以用数形结合的方法。‎