数学理卷·2018届四川省泸州市高三第一次诊断性考试（2017
四川省泸州市 2018 届高三第一次诊断性考试
数学理试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充
分也不必要条件
4．在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，则异面直线
与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的大致图象是（ ）
6．设 是空间中不同的直线， 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A． ，则 B． ，则
C． ，则 D． ，则
7．已知函数 在 处取得最大值，则函数 的图象（ ）
2
1)4tan( =+ πα αtan
3
1
3
1− 3−
}12|{ −−== xyxA }|{ 2xyyB == =BA
)}1,1{(− ),0[ +∞ )1,1(− ∅
0>x 3)3
1(
+
≤<+
=
2,12
20,4log
)( 2
x
xx
xf x 9)( =af a
)2
12()( x
xxxf −= )()1( xfxf >− x
axxxxf +−= 2coscossin)( 2
2
a
01)( =++ mxf ]24
17,4[
ππ
m
)2cos()( xaexf x π−= 0>a
)(xfy = ))0(,0( f
)(xf )1,1(− a
ABC∆ CBA ,, cba ,, )sin(2sin BAA +=
2
16
75 cS =
（1）求 的值；
（2）若 是 边上的一点， ，求 的值.
20．如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ，
， ，侧面 底面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.
21．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，若方程 有两个相异实根 ，且 ，证
明： .
选做题：
22．在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标
系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为
.
（1）设 为参数，若 ，求直线 的参数方程；
（2）已知直线 与曲线 交于 ，设 ，且 ，求实数
Bsin
D BC 4
3cos =∠ADB DC
BD
ABCDS − ABCD DCAB// 090=∠ABC
SDAD = ABCDBC 2
1== ⊥SAD ABCD
⊥SBD SAD
SD ABCD 060 DSBC −−
)0(ln2
1)( 2 >+−= axaaxxxf
)(xf
1=a )2(2
1)( 2 −<+= mmxxf 21, xx 21 xx <
22
21 = aa θρ
t ty 2
132 +−= l
l C QP, )32,0( −M |||||| 2 MQMPPQ = a
的值.
23.已知函数 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：BBACD 6-10：DACBA 11、12：CD
二、填空题
13． 14．3 15． 16．
三、解答题
17．（1）
由 ，得 的最大值为
故 .
（2）方程 即
所以
因为方程 在 内有两个零点,
所以直线 与函数 的图象在 内有两个交点，
因为 ，所以 ，
结合图象可得 的取值范围是 .
|2||3|)( xxaxf +−−=
2=a 3)( ≤xf
x |2|41)( xaxf +−−≤ a
3
1− )2
1,(−∞ )5,1(
axxxxf +−= 2coscossin)(
axx ++−=
2
12cos2sin2
1
ax +−−=
2
1)42sin(2
2 π
Rx∈ )(xf 2
2
2
1
2
2 =+− a
2
1=a
01)( =++ mxf 01)42sin(2
2 =++− mx
π
1)42sin(2
2 −−−= π
xm
01)( =++ mxf ]24
17,4[
ππ
my = 1)42sin(2
2 −−−= π
xy ]24
17,4[
ππ
24
17
4
ππ ≤≤ x 6
7
424
πππ ≤−≤ x
m ]2
3,2
21[ −−−
18.证明：（1）因为
所以 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
，即 ，
所以曲线 在 处的切线过定点 .
（2）因为 ，
当 ，函数 与 在 上都是增函数，
所以 在 上是增函数，
因为函数 在 上存在唯一极值，
所以 即
所以
所以正数 的取值范围是 .
19、(1)因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
因为
所以
（2）因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以
)2sin(2)(' xaexf x ππ+=
af =)0(' 1)0( −= af
)(xfy = ))0(,0( f
axay =−− )1( 1)1( −+= xay
)(xfy = ))0(,0( f )1,1( −−
)2sin(2)(' xaexf x ππ+=
0>a xaey = )2sin(2 xy
ππ= )1,1(−
)2sin(2)(' xaexf x ππ+= )1,1(−
)(xf )0,1(−
>
<−
0)1('
0)1('
f
f
>+
<−+−
02sin2
0)2sin(2
1
ππ
ππ
ae
ae
22
ππ eae
<<−
a )2,0(
πe
)sin(2sin BAA += CA sin2sin =
ca 2=
22
16
75sinsin2
1 cBcBacS ===
16
75sin =B
4
3cos =∠ADB 4
7sin =∠ADB
ABD∆
ADB
AB
B
AD
∠=
sinsin
cAD 4
5=
由余弦定理得 ，
所以 或 ，
因为 是 边上的一点，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
20、（1）因为 ， ，
所以 ， 是等腰直角三角形，
故 ，
因为 ， ，
所以 ∽ ，
，即 ，
因为侧面 底面 ，交线为 ，
所以 平面 ，所以平面 平面 .
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，
因为侧面 底面 ，
所以 底面 ，
所以 是底面 与底面 所成的角，即 ，
过点 在平面 内作 ，
因为侧面 底面 ，
所以 底面 ，
如图建立空间直角坐标系 ，
ca 2= cCD 2
1=
CDBC =
4
3
4
52)4
5( 222 ×××−+= BDcBDcc
cBD 2
3= c8
3
D BC cBD 2
3=
3=
DC
BD
090=∠ABC
045=∠CBD BCD∆
CBBD 2=
BDAB 2= 045=∠ABD
ABD∆ BCD∆
090=∠ADB ADBD ⊥
⊥SAD ABCD AD
⊥BD SAD ⊥SBD SAD
S ADSE ⊥ AD E
⊥SAD ABCD
⊥SE ABCD
SDE∠ SD ABCD 060=∠SDE
D SAD ADDF ⊥
⊥SAD ABCD
⊥DF ABCD
xyzD −
设 ， ，
则 ， ，
设 是平面 法向量，
则
取 ，
设 是平面 的法向量，
则
取 ，
所以二面角 的余弦值为 .
21、（1）因为 ，
函数 的定义域为 ，
因为 ，当 ，即 时， 对 恒成立
所以 在 上是增函数，
1== CDBC )2
6,0,2
2(),0,2
2,2
2(),0,2,0( −− SCB
)2
6,2,2
2(),0,2,0( −−== BSDB )0,2
2,2
2( −−=BC
),,( zyxm = SBD
=+−−
=
02
622
2
02
zyx
y
)0,0,3(=m
),,( zyxn = SBC
=+−−
=−−
02
622
2
02
2
2
2
zyx
yx
)1,3,3( −−=n
7
7
1)3()3(1)3(
2
||||
|||,cos|
222
=
+−+⋅+
=⋅=><
nm
nmnm
DSBC −−
7
7
)(1)(' 2 aaxxxx
aaxxf +−=+−=
)(xf ),0( +∞
0>a 042 ≤−=∆ aa 40 ≤< a )(' xf 0>x
)(xf ),0( +∞
当 ， 即 时 ， 由 得 或
，
则 在 ， 上递增
在 上递减；
（2）设 的两个相异实根分别为 ，满足 ，
且 ，
令 的导函数 ，
所以 在 上递减
由题意可知 ，
故 ，所以 ，
令 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，所以 是减函数，
所以 ，
所以当 时， ，
11)(' −=
xxg
042 >−=∆ aa 4>a 0)(' >xf 2
40
2 aaax
−−<<
2
42 aaax
−+>
)(xf )2
4,0(
2 aaa −−
),2
4(
2
+∞−+ aaa
)2
4,2
4(
22 aaaaaa −+−−
)2(2
1)( 2 −<+= mmxxf 21, xx 0ln =−− mxx
1,10 21 ><< xx 0lnln 2211 =−−=−− mxxmxx
xxxg −= ln)(
)(xg ),1( +∞
22ln2ln 11 −<−<=− mxx
21 >x 12,0 2
2
1 <<
xx
mxxxh −−= ln)(
)22(ln)(ln)2()( 2
2
2
2
222
2
2 xxxxxhxh −−−=−
2lnln32
22
2
2 −++−= xxx
)2(2lnln32)( 2
>−++−= tttttF
3
2
3
)1()2(341)(' t
tt
tttF
+−=+−−=
2>t 0)(' x 0)2()( 2
2
1 <−
xhxh
因为 ， 在 上单调递增，
所以 ，故 ，
综上所述， .
22、（1）直线 的极坐标方程为
所以 ，即
因为 为参数，若 ，代入上式得 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数）
（2）由 ，得
由 代入，得
将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立
得 （*）
，
设点 分别对应参数 恰为上述方程的根
则 ，
由题设得 ，
则有 ，得 或
因为 ，所以 .
23.解：（1）不等式 可化为 ，则
12,0 2
2
1 <<
xx )(xh )1,0(
2
2
1
2
x
x < 22
21 = aa θρ )0(cos42 >= aa θρρ
θρθρ sin,cos == yx )0(422 >=+ aaxyx
l C
012)1(322 =++− tat
04)1(124)]1(32[ 22 >−+=×−+=∆ aa
12),1(32 2121 =+=+ ttatt
QP, 21,tt
||||,||,|| 2121 ttPQtMQtMP −===
21
2
21 || tttt =−
060)]1(32[ 2 =−+ a 15 −=a 15 −−=a
0>a 15 −=a
3)( ≤xf 3|2||32| ≥+−− xx
或 或
解得 ，
所以不等式 的解集为 .
（2）不等式 等价于
即 ，
因为
若存在实数 ，使得不等式 成立，
则 ，
解得 ，
实数 的取值范围是 .
≤++−
−≤
3232
2
xx
x
≤−−−
≤<−
3232
3
22
xx
x
≤−−−
>
3223
3
2
xx
x
2
7
4
3 ≤≤− x
3)( ≤xf }2
7
4
3|{ ≤≤− xx
|2|41)( xaxf +−−≤ axxa −≤++− |2|3|3|
axxa −≤++− 1|2|3|3|
|6||363||36||3||2|3|3| +=++−≥++−=++− axxaxxaxxa
x |2|41)( xaxf +−−≤
aa −≤+ 1|6|
2
5−≤a
a ]2
5,( −−∞