贵州省遵义市航天高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

贵州省遵义市航天高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年度第一学期半期考试 高一数学 一、选择题 ‎1.已知为实数集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集和交集定义直接求解即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：，又 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题.‎ ‎2.下列命题中正确的个数为（ ）‎ ‎①，②，则，③，④‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式与指数幂运算的运算法则依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】①当为偶数时，，①错误；‎ ‎②当时，，则，②正确；‎ ‎③，③错误；‎ ‎④，④错误 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根式与指数幂的运算、化简，属于基础题.‎ ‎3.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，．故C正确．‎ 考点：复合函数求值．‎ ‎4.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断各个选项中两个函数的定义域和解析式，选择选项中定义域和解析式完全相同的两个函数，为同一函数.‎ ‎【详解】中，定义域为；，且定义域为 与为同一函数 中，定义域为；定义域为，两函数定义域不同 与不是同一函数 中，定义域为；定义域为，两函数定义域不同 与不是同一函数 中，定义域为；定义域为，两函数定义域不同 与不是同一函数 故选：‎ ‎【点睛】本题考查两函数表示同一函数的判断，关键是明确两函数如果是同一函数，则需两函数的定义域和解析式完全相同.‎ ‎5.函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的定义域可求得得定义域，再与取交集，得到的定义域。‎ ‎【详解】由的定义域为可得：‎ 即的定义域为 又，即 的定义域为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题主要考察了复合函数的定义域问题。关键点是明确求解定义域时，只需将整体代入的定义域中，求解出的范围即可。‎ ‎6.已知，则的值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式平方后即可得到关于所求式子的方程，从而得到结果.‎ ‎【详解】由得： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数运算法则求解多项式的值，属于基础题.‎ ‎7.已知函数，则在下列区间中，包含零点的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次验证区间各端点处函数值的符号，由零点存在定理可求得结果.‎ ‎【详解】函数连续函数 ‎；；‎ ‎；；‎ 则 由零点存在定理可知：零点所在区间为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据零点存在定理求解函数零点所在区间的问题，考查学生对于零点存在定理的理解，属于基础题.‎ ‎8.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据的图像，得到，，进而可得出结果.‎ ‎【详解】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎9.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先保证在每一段上都为单调递增；再根据在单调增得分段处函数值的大小关系，可得的范围.‎ ‎【详解】当时，‎ 若函数为增函数，则：，解得：‎ 当时，‎ 若函数为增函数，则 在上为增函数，则，解得：‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略分段处函数值的大小关系，造成求解错误.‎ ‎10.已知，且，那么等于（ ）‎ A. -26 B. -18 C. -10 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式得到，可知，得到，进而求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，关键是能够根据函数解析式得到与的关系.‎ ‎11.设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数和幂函数单调性可确定；由对数函数单调性可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 又 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小的问题，关键是能够根据函数单调性确定临界值，从而得到数字之间的大小关系.‎ ‎12.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出分段函数图象，原题意等价于函数的图象与有三个不同的交点。由图可解，注意y=1是一条渐近线。‎ ‎【详解】函数，作出函数图象，‎ 如图所示，方程有三个不同的实数根，‎ 等价于函数的图象与有三个不同的交点，‎ 根据图象可知，当时，函数的图象与有三个不同的交点，‎ 方程有三个不同的实数根，的取值范围是，故选A．‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎13.已知幂函数的图象过点，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由幂函数的定义知k＝1.‎ 又f＝，所以＝，‎ 解得α＝，从而k＋α＝.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关求参数的值的问题，涉及到的知识点有幂函数的定义，根据图象所过的点求幂函数的解析式的问题，属于简单题目.‎ ‎14.______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算法则化简即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用对数运算法则求值的问题，属于基础题.‎ ‎15.函数的值域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由二次函数值域可知；根据的单调性可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】令 ‎ 的值域为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查指数型复合函数值域的求解问题，关键是能够利用二次函数的值域得到指数函数自变量的取值范围.‎ ‎16.设函数则满足的x的取值范围是____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.‎ ‎【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.‎ 三、解答题 ‎17.已知 ‎（1）若，求； ‎ ‎（2）若，求实数的取值集合。‎ ‎【答案】（1）； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入a的值，求出A，B的交集即可；（2）通过讨论a的范围，解出关于B的方程，结合B是A的子集，得到关于a的方程，解出即可．‎ ‎【详解】（1）∵A＝{-2,2},时，B＝{2} .‎ ‎(2)由得 当时，B＝{2}符合题意， ‎ 当时，由 ‎ 得 ，而∴ ，解得。‎ ‎∴的取值集合为。‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算，考查方程问题以及分类讨论思想，是一道基础题．‎ ‎18.已知函数是上奇函数，当时，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）用定义法证明函数在区间上是单调增函数.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数性质知且；当时，，从而得到 ‎，根据求得时函数的解析式；综合可得分段函数；‎ ‎（2）令，可验证出，从而证得结论.‎ ‎【详解】（1）为定义在上的奇函数 且 当时， ‎ 综上所述：‎ ‎（2）令 ‎ ‎， ，即 在上是单调增函数 ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式、定义法证明函数的单调性的问题；易错点在于求解函数解析式时，忽略时的情况，造成解析式缺失.‎ ‎19.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数、的值；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据奇偶性可利用特殊值和构造方程求得；‎ ‎（2）将通过分离常数法可化为，由，根据不等式的性质可求得函数的值域.‎ ‎【详解】（1）为定义在上的奇函数 ，解得：‎ 又，‎ ‎ ，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎ ‎ ‎ 的值域为 ‎【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解参数值、函数的值域求解问题；关键是能够明确对于分式型函数通常采用分离常数法化简函数解析式，结合不等式的性质可分析求得结果.‎ ‎20.某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．‎ ‎(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；‎ ‎(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2.8万元 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；‎ ‎（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．‎ 解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．‎ 由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴‎ 又g（4）=1.6，∴．从而，‎ ‎（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．‎ ‎（0≤x≤10）‎ 令，则=‎ 当t=2时，，此时x=10﹣4=6‎ 答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，‎ 该企业获得最大利润，利润为2.8万元． ‎ 考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．‎ ‎21.定义在R上的单调函数满足，且对任意、都有.‎ ‎(1)求证：为奇函数.‎ ‎(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先令，计算，再令得出，结论得证；(2)先得在R上是单调递增函数，结合奇偶性可得在R上恒成立，根据即可得结果.‎ ‎【详解】（1）证∵‎ 当时，，∴‎ 令，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，是奇函数 ‎（2）∵单调函数满足，，‎ ‎∴在R上是单调递增函数，‎ 要使在R上恒成立 即恒成立，‎ ‎∴‎ 即在R上恒成立 ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性与单调性判断，函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎22.二次函数满足，且方程有两个相等的实数根.‎ ‎（1）求函数的解析式及值域；‎ ‎（2）是否存在实数，使得在区间上的值域是.若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），值域是；（2）存在，，，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由方程求得；由可求得，进而得到函数解析式；由二次函数性质可求得函数值域；‎ ‎（2）由（1）中所求函数值域，可知；由二次函数对称轴方程可知在区间上，函数单调递增，进而得到为方程的两根，解方程可求得两根，根据可求得结果.‎ ‎【详解】（1）有两个相等实根，即有两个相等实根 ‎，解得：‎ ‎ ，即 ‎ 当时，‎ 值域为 ‎（2）由（1）知，的值域为 ，解得：‎ 对称轴为 在上单调递增 ‎， 为方程的两根 由得：，解得：，‎ ‎ ，‎ ‎【点睛】本题考查二次函数解析式和值域的求解、根据函数单调性和值域求解参数值的问题；关键是能够通过函数值域确定函数在所给区间内的单调性，从而将问题转化为方程根的求解问题.‎ ‎ ‎