数学理卷·2018届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末联考（2018

数学理卷·2018届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末联考（2018

天门 仙桃 潜江 绝密★启用前 试卷类型：A ‎ 2017—2018学年度第一学期期末联考试题 高三数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．‎ ‎1．设集合，，，则中的元素个数为 ‎ A．3 B．‎4 ‎ C．5 D．6‎ ‎2．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设i为虚数单位，则下列命题成立的是 ‎ A．复数是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第三限象 C．若复数，则存在复数，使得 D．，方程无解 ‎4．等比数列的前n项和为，已知，则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知曲线在点处切线的斜率为8，则 ‎ ‎ A．7 B．－‎4 ‎ C．－7 D．4‎ ‎6．的展开式中的系数是 ‎ ‎ A．56 B．‎84 ‎ C．112 D．168‎ ‎7．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ‎ ‎ A．‎4cm3 ‎ B．‎5 cm3 ‎ C．‎6 cm3 ‎ D．‎7 cm3 ‎ ‎8．函数的图像如图所示，则 的值等于 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．1‎ ‎9．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24‎ 这24个整数中等可能随机产生。则按程序框图正确编程运行时输 出y的值为3的概率为 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知三点共线，则的最小值为 A．11 B．‎10 ‎ C．6 D．4‎ ‎12．已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S10，则 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎13．已知向量，的夹角为，，则在方向上的投影为 ▲ ．‎ ‎14．若实数x，y满足，则目标函数的最小值为 ▲ ．‎ ‎15．如图是椭圆与双曲线的公共焦点，A，‎ B分别是在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2‎ 为矩形，则的虚轴长为 ▲ ．‎ ‎16．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E为BC 的中点，点P在线段D1E上，点Q在线段CC1上 ，则线 段PQ长的最小值为 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，，连接CE并延长交AD于F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥CG；‎ ‎（Ⅱ）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．‎ ‎19.（本题满分12分） ‎ 如图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎20.（本题满分12分） ‎ 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，两点．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，，过 P、作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．‎ 若，求圆Q的标准方程．‎ ‎21.（本题满分12分） ‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值M．‎ 请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．‎ ‎22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程】‎ ‎ 已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；‎ ‎ (Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】‎ 已知函数，其中.‎ ‎(Ⅰ)当时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的不等式的解集为，求的值．‎ 天门、仙桃、潜江2017－2018学年度第一学期期末联考 高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：1—5 BDCAB 6—10 DACCC 11—‎‎12 AC 二、填空题：13． 14． 15．2 16．‎ 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。‎ ‎17．解：（Ⅰ）由已知得，‎ ‎ 即有………………………………………3分 ‎ 因为，∴．又，∴．‎ ‎ 又，∴，∴………………………………6分 ‎ （Ⅱ）由余弦定理，有．‎ ‎ 因为，有………………………9分 ‎ 又，于是有，即有………………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）在△ABD中，因为点E是BD的中点，‎ ‎ ∴EA=EB=ED=AB=1，‎ 故…………………………………1分 ‎ 因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，‎ ‎ 从而有…………………………………2分 ‎ ∴，故EF⊥AD，AF=FD．‎ ‎ 又PG=GD，∴FG//PA．又PA⊥平面ABCD，‎ ‎ ∴GF⊥AD，故AD⊥平面CFG…………………………………………5分 ‎ 又平面CFG，∴AD⊥CF…………………………………………6分 ‎（Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则 ‎…………7分 故，，‎ ‎．‎ 设平面BCP的法向量，‎ 则，解得，‎ 即…………………………………………………………9分 设平面DCP的法向量，‎ 则解得 即．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 ‎……………………………………12分 ‎19．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．‎ ‎ 根据题意，，且…………………………2分 ‎ （Ⅰ）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．‎ ‎ ∴…………………………4分）‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎………………6分 ‎ 故X的数学期望……………………8分 ‎（Ⅲ）从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题意知，在椭圆上，‎ 则，从而………………………………………1分 ‎ 由，得，从而．‎ ‎ 故该椭圆的标准方程为…………………………………………4分 ‎ （Ⅱ）由椭圆的对称性，可设．‎ ‎ 又设是椭圆上任意一点，则 ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎ 设，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，‎ ‎ 因此，上式当时取最小值．‎ ‎ 又因为，∴上式当时取最小值，‎ ‎ 从而，且．因为，且，‎ ‎ ∴，即…………8分 ‎ 由椭圆方程及，得，‎ ‎ 解得，从而．………10分 ‎ 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ‎ …………………………12分21．解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎ ……………………………………2分 ‎ 由，解得．‎ ‎ 由，解得．‎ ‎ 由，解得．‎ ‎ ∴函数的单调增区间为，‎ 单调减区间为…………………………………………………………6分 ‎ （2）因为，∴．‎ ‎ 令，解得……………………………………8分 ‎ 因为，∴，∴．‎ ‎ 设，，‎ ‎ ，∴在上是减函数，‎ ‎ ∴，即．‎ ‎ ∴，随x的变化情况如下表：‎ ‎ －‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ∴函数在[0，k]上的最大值为或．‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，∴．‎ ‎ 令，则．‎ ‎ 对任意的，的图象恒在的图象的下方，‎ ‎ ∴，即…………………………………………10分 ‎ ∴函数在上为减函数，‎ 故，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴函数在的最大值………………12分 ‎22．解：(Ⅰ) 依题意有…………………………2分 ‎ 因此 ……………………………………3分 ‎ M的轨迹的参数方程为（为参数，）……5分 ‎(Ⅱ) M点到坐标原点的距离…………7分 ‎ 当时，，故M的轨迹过坐标原点………………………………10分 ‎23．解：(Ⅰ)当时，………………………………1分 ‎ 当时，由得，解得…………2分 ‎ 当时，无解……………………………………3分 ‎ 当时，由得，解得…………4分 ‎ ∴的解集为…………………………5分 ‎(Ⅱ)记，则 ‎ ………………………………………………7分 ‎ 由，解得……………………………………9分 ‎ 又已知的解集为，‎ ‎ ∴，于是…………………………………………………10分