2019高三数学（人教A版 文）一轮单元评估检测8 平面解析几何

2019高三数学（人教A版 文）一轮单元评估检测8 平面解析几何

单元评估检测(八)　平面解析几何 ‎ (120分钟　295分)‎ ‎(对应学生用书第22页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于(　　)‎ A．1或－3 B．－1或3‎ C．1或3 D．－1或－3‎ A ‎2．(2017·广州模拟)若直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)‎ A．0　　　　 B．1　　　　‎ C．－1　　　　 D．2‎ A ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ ‎ 【导学号：79170402】‎ A．2 B． ‎ C． D．1‎ D ‎4．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．4 C ‎5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ C ‎6．(2017·德州模拟)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A． B．6 ‎ C．12 D．7 C ‎7．(2017·黄山模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ ‎ C．1 D．0‎ A ‎8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2‎ 的面积是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． A ‎9．(2017·南昌模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)‎ A．y＝2x－3 B．y＝－2x＋5‎ C．y＝－x＋3 D．y＝x－1‎ A ‎10．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，右焦点F(c,0)．方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系是(　　)‎ A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．不确定 A ‎11．抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点重合，又P为两曲线的一个公共点，且|PF|＝5，则双曲线的实轴长为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．－3 D．6‎ B ‎12．(2017·邵阳模拟)已知双曲线－＝1，a∈R，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点，满足|OP|＝3a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．‎ ‎2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ ‎14．已知双曲线S与椭圆＋＝1的焦点相同，如果y＝x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．‎ －＝1‎ ‎15．(2017·济南模拟)已知直线3x－4y＋a＝0与圆x2－4x＋y2－2y＋1＝0相切，则实数a的值为________．‎ ‎ －12或8‎ ‎16．已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为________. ‎ ‎【导学号：79170403】‎ ‎7‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.‎ ‎(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线l的倾斜角．‎ ‎[解]　(1)将已知直线l化为y－1＝m(x－1)，‎ 直线l恒过定点P(1,1)．‎ 因为＝1＜，‎ 所以点P(1,1)在已知圆C内，‎ 从而直线l与圆C总有两个不同的交点．‎ ‎(2)或 ‎18．(12分)(2017·太原模拟)圆M和圆P：x2＋y2－2x－10＝0相内切，且过定点Q(－，0)．‎ ‎(1)求动圆圆心M的轨迹方程．‎ ‎(2)斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求直线l的方程．‎ ‎(1)＋y2＝1‎ ‎(2)y＝x＋ ‎19．(12分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．‎ ‎(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小．‎ ‎(2)求证：·是一个定值．‎ ‎[解]　(1)因为F(1,0)，‎ 所以直线l的方程为y＝x－1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 得x2－6x＋1＝0，‎ 所以x1＋x2＝6，x1x2＝1.‎ 所以|AB|＝ ‎＝· ‎＝·＝8.‎ ‎(2)设直线l的方程为x＝ky＋1，‎ 由 得y2－4ky－4＝0.‎ 所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，‎ ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．‎ 因为·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)·(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.‎ 所以·是一个定值．‎ ‎20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程．‎ ‎(2)设F是椭圆C的左焦点，过点P(－2,0)的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF面积的最大值．‎ ‎(1)＋y2＝1　(2) ‎21．(12分)(2016·浙江高考)如图1，设椭圆＋y2＝1(a>1)．‎ 图1‎ ‎(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)．‎ ‎(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由 得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，‎ 故x1＝0，x2＝－.‎ 因此|AM|＝|x1－x2|‎ ‎＝·.‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ| .‎ 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.‎ 由(1)知，|AP|＝，‎ ‎|AQ|＝，‎ 故＝.‎ 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.‎ 由于k1≠k2，k1，k2＞0，‎ 得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，‎ 因此＝1＋a2(a2－2)①.‎ 因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，‎ 所以a＞.‎ 因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1＜a≤，‎ 由e＝＝得，所求离心率的取值范围是0＜e≤.‎ ‎22．(12分)(2016·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.‎ 图2‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎②求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎[解]　(1)由题意a＝2，c＝，所以b2＝2，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)①由题意，设P(p,2m)(0＜2m＜，0＜p＜2)，则Q(p，－2m)，‎ 所以＝＝－3为定值．‎ ‎②直线PA的斜率k＝＝＝，其中0＜m2＜，所以k＞0.‎ 将直线y＝Kx＋m与椭圆方程联立，可得，‎ ‎(2K2＋1)x2＋4Kmx＋2m2－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA：y＝kx＋m，直线QB：y＝－3kx＋m，‎ 分别令K＝k，K＝－3k可得：‎ x1p＝，x2p＝，‎ 所以，kAB＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝≥ .‎ 所以，直线AB的斜率的最小值为.‎