数学（文）卷·2017届福建省莆田市二十五中高三12月月考（2016

数学（文）卷·2017届福建省莆田市二十五中高三12月月考（2016

莆田第二十五中学 2016-2017 学年度上学期月考试卷 高三文科数学 考试时间：120 分钟； 一、单项选择 1、已知集合      1 3 0 , 2 4A x x x B x x       ，则 A B  （ ） A． 2 3x x  B． 1 3x x  C． 3 4x x  D． 1 4x x  2、复数 i iz 21 的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、设 x R ，则“ 2 1x   ”是“ 2 2 0x x   ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 4、已知命题 :p Rx  ，cos 1x  ，则 p 是（ ） A． Rx  ，cos 1x  B． Rx  ，cos 1x  C． Rx  ，cos 1x  D． Rx  ，cos 1x  5、向量 ( 1,1)a   ， (1,0)b  ，若( ) (2 )a b a b      ，则 （ ） A．2 B． 2 C．3 D． 3 6、阅读程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（ ） A．15 B．105 C．245 D．945 7、若 ,x y 满足约束条件 1 0 0 4 0 x x y x y          则 y x 的最大值为（ ) A.1 B. 2 C.3 D. 2 3 8、在数列 na 中， 1 1 12, 1 n n n aa a a     ，则 2016a  （ ） A．－2 B． 1 3  C. 1 2 D．3 9、如图，一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为 2 的正方形及其一条对角线，则该几何体的侧面积为（ ） A．8(1 2) B． 4(1 2) C． 2(1 2) D．1 2 10、曲线 x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线 y=k（x+2）有公共点,则 k 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11、函数 ( ) 2sin( )( 0, )2 2f x x           的部分图象如图所 示，则 ,  的值分别是（ ） A. 4, 6  B. 2, 6  C. 2, 3  D. 4, 3  12、已知函数 ( )y f x 是( 1,1) 上的偶函数，且在区间( 1,0) 是单调递增的， , ,A B C 是 锐角 ABC 的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． (sin ) (cos )f A f A B． (sin ) (cos )f A f B C． (cos ) (sin )f C f B D． (sin ) (cos )f C f B 二、填空题 13、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{ }an 是等和数列，且a1 2 ，公和为 5，那么 a18 的值为______________ 14、若对任意 20, 4 1 xx ax x    恒成立，则a 的取值范围是 15 、 已 知 函 数 3( ) 1f x ax x   的 图 象 在 点 (1, (1))f 处 的 切 线 过 点 （ 2,7 ）， 则 a =__________． 16 、 设  f x 是 定 义 在 R 内 ， 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间  1,1 上 ，   1, 1 0 2 ,0 11 ax x f x bx xx         ， 其 中 ,a b R ． 若 1 3 2 2f f          ， 则 3a b 的 值 为 ____________． 三、解答题 17、已知等差数列 na 满足： 4 7a  ， 10 19a  ，其前 n 项和为 nS . (1）求数列 na 的通项公式 na 及 nS ； (2）若等比数列 nb 的前 n 项和为 nT ，且 1 2b  ， 4 4b S ，求 nT . 18、 ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ， 1sin2sin2 2  CBA . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若 2a ， 1c ，求 ABC 的面积. [] 19、如图，已知四棱锥 P-ABCD， PD  底面 ABCD ，且底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， M、N 分别为 PB、PC 的中点． （Ⅰ）证明：MN//平面 PAD； （Ⅱ）若 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积 V． 20、已知函数 3 2( ) 1f x x bx cx    当 2x   时有极值，且在 1x   处的切线的斜率 为 3 ． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）求函数 ( )f x 在区间[ 1,2] 上的最大值与最小值； （3）若过点 (1, )P m 可作曲线 ( )y f x 的三条切线，求实数 m 的取值范围． [] 21、已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   过点  2 0A ， ，  0 1B ， 两点． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率； （Ⅱ）设 P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴 交于点 N ，求证： 四边形 ABNM 的面积为定值． 22、在直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极 坐标方程为 2 2 sin 4       ，直线的参数方程为 1 2 1 x t y t      （t 为参数），直线和圆 C 交于 ,A B 两点， P 是圆C 上不同于 ,A B 的任意一点． （1）求圆心的极坐标； （2）求 PAB 面积的最大值． 参考答案 一、单项选择 1、【答案】A 【解析】    1 3 , 2 3A x x A B x x        ，故选 A. 考点：集合的运算． 2、【答案】D 【解析】复数 i iz 21 可化为 2 1 5 5z i  ，共轭复数是 2 1 5 5z i  ，所以复数 i iz 21 的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限, 故选 D. 考点：复数，共轭复数及复平面. 3、【答案】A 【解析】由“ 2 1x   ”得 31  x ，由 2 2 0x x   得 1x 或 2x ，即“ 2 1x   ” 是“ 2 2 0x x   ”的充分不必要条件，故选：A． 考点：充分条件与必要条件的判断. 4、【答案】D 【解析】由全称命题的否定为特称命题，知 p 为 x R ，cos 1x  ，故选 D． 考点：全称命题的否定． 5、【答案】C 【解析】 2 2 ( ) (2 ) ( ) (2 ) 0 2 ( 2) 0a b a b a b a b a b a b                            2 2 1 ( 2)( 1) 0 3            ，选 C． 考点：向量数量积 【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公 式 a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关 公式进行化简． 6、【答案】B 【解析】第一次运行程序时， 3T  ， 3S  ， 2i  ；第二次运行程序时， 5T  ， 15S  ， 3i  ；第三次运行程序时， 7T  ， 105S  ， 4i  ，不满足循环条件，退出循环，输 出 105S  ，故选 B． 考点：程序框图． 7、【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域， y x 的几何意义为区域内的点到原点的斜率， 由图象知，OA 的斜率最大， 由 1 4 0 x x y      ，得 1 3 x y    ，即 A（1，3)， 故 OA 的斜率 k=3 考点：线性规划问题 8、【答案】D 【解析】由条件可得： 21 a ， 3 1 2 a ， 2 1 3 a ， 34 a ， 25 a ， 3 1 6 a ，…， 所以数列 na 是以 4 为周期的数列，所以 342016  aa ，故选项为 D. 考点：数列的函数特性. 9、【答案】B 【解析】 如图，几何体为四棱锥，底面为边长为 2 的正方形，高为 2， PC 底面 ABCD，所以 ABPC  , BCAB  ,所以 AB 平面 PBC ,那么 PBAB  ,同理 PDAD  ,所以侧 面 都 是 直 角 三 角 形 ，   24422222222222 1   PDCPADPABPBC SSSSS ,故 选 B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积和表面积. 10、【答案】C 【解析】由题意得，曲线 x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心为（3，0），半径为 3 的半圆，它 与直线 y=k（x+2）有公共点成立的条件就是圆心（3，0）到直线 y=k（x+2）的距离 3d ， 且 0k ，即可得到答案，选 C 考点：1.直线与圆的位置关系的应用；2.点到直线的距离公式的灵活运用； 11、【答案】C 【解析】根据图像可得： 212 5 12 11 2  T , T ,而   2 ， 2 ，当  12 5x 时， 212 52   ，解得： 3-  ，故选 C. 考点：    xAy sin 的图像 12、【答案】C 【解析】由题意 ( )f x 在(0,1) 上单调递减，在锐角三角形中， 2A B   ，即 2A B  ， 因此sin sin( ) cos2A B B   ，因此 (sin ) (cos )f A f B ，类似地只有 C 正确．故选 C． 考点：函数的奇偶性与单调性．[] 二、填空题 13、【答案】3 【 解 析 】 由 题 意 知 ， 1 5n na a   ， 且 1 2a  ， 所 以 1 2 5a a  ， 得 2 3 4 17 183, 2, 3 2, 3a a a a a     考点：数列的应用 14、【答案】 6 1a 【解析】令  2 1 4 1 x x x f x   ，∴   1 4 6f x x x     （当 1x  时，等号成立）， ∴   1 1 6f x  ，∴ 6 1a ，故答案为 6 1a ． 考点：函数恒成立问题． 15、【答案】 1a  【解析】由题意得，函数的导数为 2( ) 3 1f x ax   ，所以 (1) 3 1f a   ，而 (1) 2f a  ， 所 以 切 线 方 程 为 2 (3 1)( 1)y a a x     ， 因 为 切 线 方 程 经 过 点 (2,7) ， 所 以 7 2 (3 1)(2 1)a a     ，解得 1a  ． 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程． 16、【答案】 10 【 解 析 】 由 1 3 1 1 4( ) 12 2 2 2 3 bf f f a                ， 又 4,202)1()1(  babaff 103  ba ． 考点：1、函数的解析式；2、函数的单调性. 【方法点晴】本题主要考查函数的解析式和函数的单调性，其中涉及函数与方程思想， 具有一定的综合性，属于较难题型.先利用周期性得 1 3 1( )2 2 2f f f            ，从而建 立方程 1 41 2 3 ba   ，又利用 )1()1( ff  ，再建立方程 02  ba ，联立两方程解得 4,2  ba ，从而求得 103  ba ，解本题时要始终牢牢紧扣函数与方程思想，才 能顺利求解. 三、解答题 17、【答案】(1） 12  nan , 2nSn  ;(2） 22 1  n nT 试题分析：(1）由等差数列的通项公式,据已知 4 10,a a 的值,建立关于 1,a d 的方程组,解 方程组可得 1,a d ,从而得到等差数列的通项公式和前 n 项和公式; (2）已知 1b ,由等比数列的通项公式,利用 4 4b S 求出q ,可得等比数列的前 n 项和. 试题解析:(1）设等差数列 }{ na 的公差为 d ，则      199 73 1 1 da da ， 解得：      2 11 d a ， ∴ 12  nan ， 2nSn  (2）设等比数列 }{ nb 的公比为 q ，∵ 21 b ， 44 Sb  ，∴ 162 3 q ， ∴ 2q ， ∴ 22 1  n nT 考点：等差数列;等比数列. 【解析】 18、【答案】（1） 4  ；（2） 1 2 . 试题分析：（1）由三角形内角和定理得 A B C    ，从而将条件转化为 22sin sin 12 C C    ，利用三角恒等变换公式得cos sinC C ，从而求得 4C  ；（2） 由余弦定理列出方程可求出边b 的值，即可求三角形面积. 试题解析：（1） 22sin sin 12 A B C   , 在 ABC 中， 22sin sin 12 CA B C C       22cos sin 1 cos sin2 C C C C     0, 4C C    （2）方法①由余弦定理知 2 2 2 2 2 22 cos 1, 2, 1 2 2 24 2 2 1 0 1 c a b ab C c a C b b b b b                 1 1sin2 2ABCS ab C   10 分 方法②在 ABC 中，由正弦定理： 2 1 sin sin 4 A  ， sin 1A  , 90A  , 1 1 2 2ABCS bc   考点：1.三角形的恒等变换；2.正弦定理与余弦定理. 【名师点睛】本题考查三角恒等变换与正、余弦定理，中档题；解三角形时，有时可用 正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有 角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一 次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 【解析】 19、【答案】（Ⅰ）详见解析（II） 8 3 试题分析： （I）由中位线定理得出 MN∥BC，由 MN∥AD，故 MN∥AD，得出 MN∥平面 PAD；（II）由 ∠PAD=45°得出 PD=AD，于是棱锥体积 V= 1 3 S 正方形 ABCD？PD 试题解析：（1）证明：因为 M、N 分别是棱 PB、PC 中点，所以 MN//BC， 又 ABCD 是正方形，所以 AD//BC，于是 MN//AD．3 分 / / / / MN AD AD PAD MN PAD MN PAD       平面 平面 平面 6 分 （2）由 PD ABCD 底 ，知 PA 与平面 ABCD 所成的角为 PAD ， ∴ 45PAD   9 分 在 PADRt 中，知 2PD AD  ， 故四棱锥 P-ABCD 的体积 1 84 2 3 3 V     ．12 分 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【解析】 20、【答案】（1） 3 2( ) 3 1.f x x x   ；（2）最大值是 19，最小值是 1 ；（3）实数 m 的 取值范围是( 5,3). 试题分析：（1）由题意可得，先求出 ( )f x 的导数 2'( ) 3 2f x x bx c   ，再根据 '( 2) 12 4 0, '( 1) 3 2 3, f b c f b c             可求解出 b,c 的值；（2）求出 ( )f x 的零点，再列表根据单调 性求 ( )f x 的最值；（3）设切点，求切线方程，得到 3 0 02 6 1m x x    ，要求过点 (1, )P m 可作曲线 ( )y f x 的三条切线，即求 3 0 02 6 1m x x    有三个零点 试题解析： （1） 2'( ) 3 2f x x bx c   依题意得 '( 2) 12 4 0, '( 1) 3 2 3, f b c f b c             解得 3, 0. b c    ∴函数 ( )f x 的解析式为 3 2( ) 3 1.f x x x   （2）由（1）知 2'( ) 3 6f x x x  .令 '( ) 0f x  ， 解得 1 2x   ， 2 0x  列表： x 1 ( 1,0) 0 (0,2) 2 '( )f x   ( )f x 1 1 19 从上表可知， ( )f x 在区间[ 1,2] 上的最大值是 19，最小值是 1 . （3）设切点为 3 2 0 0 0( , 3 1)x x x  ， 2 0 0 0'( ) 3 6f x x x  ， ∴切线方程为 3 2 2 0 0 0 0 0( 3 1) (3 6 )( )y x x x x x x      ， 切线过点 (1, )P m ，∴ 3 2 2 0 0 0 0 0( 3 1) (3 6 )(1 )m x x x x x      ， ∴ 3 0 02 6 1m x x    ． 令 3( ) 2 6 1g x x x    ，则 2'( ) 6 6g x x   ． 由 '( ) 0g x  得 1 1x   ， 2 1x  ． ( )g x 在( , 1)  上是减函数，在( 1,1) 上是增函数，在(1, ) 上是减函数， 极小值 ( 1) 5g    ，极大值 (1) 3g  ， 且 (3) 54 18 1 5g       ， ( 3) 54 18 1 3g      ， 所以，当 5 3m   时， 32 6 1x x m    有三解， 所以实数m 的取值范围是( 5,3). 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的极值； 【解析】 21、【答案】（Ⅰ） 3 2 ce a   ；（Ⅱ） 2 ． 试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知 a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离 心率公式求解；（Ⅱ）四边形 ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线 AN ， BM 的值求乘积为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）由题意得， 2 1a b ， ． 所以椭圆 C 的方程 2 2 14 x y  ． 又 2 2 3c a b   ， 所以离心率 3 2 ce a   ． （Ⅱ）设   0 0 0 00 0P x y x y ， ， ，则 2 2 0 04 4x y  ． 又  2 0A ， ，  0 1B ， ，所以， 直线 PA 的方程为  0 0 22 yy xx   ． 令 0x  ，得 0 0 2 2M yy x    ，从而 0 0 21 1 2M yBM y x      ． 直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   ． 令 0y  ，得 0 0 1N xx y   ，从而 0 0 2 2 1N xAN x y      所以四边形 ABNM 的面积 1 2S AB BM  0 0 0 0 21 2 12 1 2 x y y x             2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 8 4 2 2 2 x y x y x y x y x y         0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 4 2 2 x y x y x y x y       2 ． 从而四边形 ABNM 的面积为定值． 考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系． 【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑 思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第 一小题根据两顶点坐标可知 a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式 求解；第二小题四边形 ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线 AN ， BM 的值求乘积为定值即可． 【解析】 22、【答案】（1） 32, 4      ；（2） 5 62152  ． 试题分析：（1）借助题设条件运用直角坐标与极坐标之间关系求解； （2）借助参数方程与普通方程的关系求解． 试题解析： （1）由圆C 的极坐标方程为 2 2 sin 4       ， ∴ 2 2 sin 2 cos      ，． ∴ 2 2 2 2x y y x   ． 圆C 的普通方程为   2 21 1 2x y    ，圆心坐标为  1,1C  ， 化为极坐标为 32, 4      ． （2）由直线l 的参数方程 1 2 1 x t y t      （t 为参数）消去参数t ，可得直线l 的普通方程： 2 1 0x y   ． ∴圆心到直线l 的距离 2 5 d  ， ∴ 4 2 302 2 5 5AB    点 P 直线 AB 距离的最大值为 2 5 5 2 2 52 5 5r d     ， max 1 2 30 5 2 2 5 2 15 2 6 2 5 5 5S      考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用． 【解析】