数学理卷·2018届四川省遂宁市高三三诊考试(2018

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数学理卷·2018届四川省遂宁市高三三诊考试(2018

遂宁市高中2018届三诊考试 数学(理科)试题 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题,满分60分)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3.考试结束后,将答题卡收回。‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。)‎ ‎1.已知集合,,若,则 A. B.‎ C. D.‎ ‎2.复数(为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.设,则“”是“”的 A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎4.在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示,则此机械部件的表面积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎5.已知函数,那么下面说法正确的是 A.函数在上是增函数,且最小正周期为 ‎ B.函数在上是减函数,且最小正周期为 C.函数在上是减函数,且最小正周期为 D.函数在上是增函数,且最小正周期为 ‎6.若,则目标函数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎7. 如图,在中,,,,‎ 则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行,成为明清之际研习数学者必读的教材,而且传到朝鲜、日本及东南亚地区,对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是:“今有三角果一垛,底阔每面七个.问该若干?”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图,求得该垛果子的总数为 A.120 B.84 ‎ C.56 D.28‎ ‎9.已知是双曲线上任意一点,过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为、,则的值是 A. B.‎ C. D.不能确定 ‎10.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为2000元,则所需检测费的均值为 A.6400元 B.6800元 ‎ C.7000元 D.7200元 ‎11.已知,,,四点均在以点为球心的球面上 ,且 ‎,,.若球在球内且与平面相切,则球表面积的最大值为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为 A. B.‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)‎ 注意事项:‎ ‎1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。‎ ‎2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题,每个试题考生都作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知向量,,若,则 ▲ .‎ ‎14.已知在中,,则的面积为 ▲ .‎ ‎15.直线被圆截得的弦长为,则直线的倾斜角为 ▲ .‎ ‎16.是上可导的奇函数,是的导函数.已知时,不等式的解集为,则在上的零点的个数为 ▲ .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ ‎ 设数列的前项和为.已知.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求的前项和.‎ ‎▲‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:‎ 年龄 ‎[5,15)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 支持“生 育二胎”‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表,并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ 不支持 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ 合计 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎(2)若对年龄在的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中的人不支持“生育二胎”人数为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考数据:,,‎ ‎▲‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示的几何体中,为三棱柱,且平面,四边形为平行四边形,.‎ ‎(1)若,‎ 求证:平面;‎ ‎(2)若,二面角的余弦值为 ‎,求三棱锥的体积.‎ ‎▲‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为,其右顶点在圆上. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线交椭圆于,两点.‎ ‎(i)若以弦为直径的圆过坐标原点,求实数的值;‎ ‎(ii)设点关于轴的对称点为(点与点不重合),且直线与轴交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ ‎▲‎ ‎21.(本小题满分12分) ‎ 已知函数,.‎ ‎(1)若在处取得极值,求的值;‎ ‎(2)设,试讨论函数的单调性;‎ ‎(3)当时,若存在实数满足,‎ 求证:.‎ ‎ ‎ ‎▲‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 点是曲线()上的动点,,的中点为.‎ ‎(1)求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)若上点处的切线斜率的取值范围是,求点横坐标的取值范围.‎ ‎▲‎ ‎23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若,,且,‎ 求证:.‎ ‎▲‎ 遂宁市高中2018届三诊考试 数学(理科)试题参考答案及评分意见 一、选择题(12×5=60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B D A D B A C D B 二、填空题(45=20分)‎ ‎13. 14. 15. 或 16. 2‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 解:(1)因为,所以 ,故 …………1分 当 时, 此时, 即 ‎ 所以, …………5分 ‎(2)因为 ,‎ 所以;当 时, ,‎ 所以 …………7分 当 时, ‎ 所以 两式相减,得 ‎ ‎ …………10分 所以 …………11分 经检验, 时也适合,‎ 综上可得: …………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(1)2乘2列联表 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 ‎32‎ 不支持 ‎18‎ 合 计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎…………3分 ‎<‎ 所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异 ‎…………5分 ‎(2)所有可能取值有0,1,2,3 …………6分 ‎ …………10分 所以的分布列是 ‎ ‎ 所以的期望值是 …………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(1)证明:连接交于,因为,又平面,‎ 所以,所以四边形为正方形,‎ 所以,在中,,‎ 由余弦定理得,‎ 所以,所以,所以,又,‎ 所以平面,‎ 所以,又因为从而平面 ………5分 ‎(2)如图建立直角坐标系,则 设平面的法向量为,由 ‎ ‎ 即解得 设平面的法向量为 …………8分 由得解得 ‎…………10分 由得,所以 ……11分 此时所以 ‎…………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(1)因为椭圆C的右顶点在圆O:上,所以,又离心率为,‎ 所以,所以,则有,‎ 所以椭圆C的方程为 …………4分 ‎(2)(i)设,.‎ 直线与椭圆方程联立,‎ 化简并整理得, …………5分 ‎∴, ‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 因为以弦MN为直径的圆过坐标原点,‎ 所以,∴,即,‎ 代入,得,解得, 所以.…………8分 ‎(ii)由题意,,所以直线的方程为,‎ 令,得 所以点的坐标为 …………10分 的面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 故的面积存在最大值,最大值为. …………12分 ‎21.(本小题满分12分) ‎ 解:(1)因为,所以,‎ ‎ 因为在处取得极值,‎ 所以,解得. ‎ 验证:当时,,‎ 易得在处取得极大值. …………3分 ‎ ‎(2)因为,‎ 所以 ‎ ‎ …………4分 ‎①若,则当时,,‎ 所以函数在上单调递增;‎ 当时,,函数在上单调递减.………5分 ‎②若,,‎ 当时,易得函数在和上单调递增,‎ 在上单调递减; ‎ 当时,恒成立,所以函数在上单调递增;‎ 当时,易得函数在和上单调递增,‎ 在上单调递减; …………8分 ‎ ‎(3)证明:当时,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以. ‎ 令,,‎ 则,‎ 当时,,所以函数在上单调递减;‎ 当时,,所以函数在上单调递增;‎ 所以函数在时,取得最小值,最小值为. …………10分 所以,‎ 即,所以 …………11分 当时,此时不存在满足等号成立条件,‎ 所以. …………12分 ‎22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(1)由,得设,,‎ 则,即,代入,‎ 得,∴; …………5分 ‎(2)轨迹是一个以为圆心,半径的半圆,如图所示,‎ 设,设点处切线的倾斜角为 由斜率范围,可得, …………7分 而,∴,∴,‎ 所以,点横坐标的取值范围是. …………10分 ‎23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 解:(1)‎ 当时,由,解得;当时,不成立;‎ 当时,由,解得;‎ 所以不等式的解集为 …………5分 ‎(2),即,即.‎ 因为,,所以,,又有,‎ 所以,‎ 所以,故所证不等式成立. …………10分
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