数学卷·2018届浙江省嵊州市高级中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学卷·2018届浙江省嵊州市高级中学高二上学期期末考试（2017-01）

A B P 嵊州市高级中学 2016 学年第一学期期末考试 高二数学试题 命题范围：必修 2 选修 2-1 参考公式： 球的表面积公式： ，其中 表示球的半径； 球的体积公式： 其中 表示球的半径； 棱柱体积公式： ，其中 为棱柱底面面积， 为棱柱的高； 棱锥体积公式： ，其中 为棱柱底面面积， 为棱柱的高； 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．直线 的倾斜角是 ( ) A． B． C． D． 2．圆 的圆心坐标和半径分别是( ) A． B． C． D． 3．在空间中，下列命题正确的是（ ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面 C．经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个 D．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个 4．已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 5．已知直线 ： ， ： ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6﹒在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．若双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则此双曲 线的离心率是（ ） A． B． C． D． 8 ． 如 图 ， 三 棱 锥 - 中 ， 棱 两 两 垂 直 ， 且 ，则二面角 大小的正切值为（ ） A． B． C． D． 9．已知 P 是抛物线 上一动点，则点 到直线 和 y 轴的距离之和的最小值是( ) 24 RS π= R ,3 4 3RV π= R ShV = S h ShV 3 1= S h y x= 6 π 4 π 2 π 4 3π ( )2 21 3x y− + = ( )1,0 ,3− ( )1,0 ,3 ( )1,0 , 3− ( )1,0 , 3 2 2 1 : 1C x y+ = 2 2 2 :( 3) ( 4) 9C x y− + − = 1C 2C 1l 1 14y x= − − 2l 2 2y k x= − 2k = 1 2l l⊥ ( )2,1,4P − x ( )2,1, 4− − ( )2, 1, 4− − − ( )2, 1,4− ( )2,1, 4− 12 2 2 2 =− b y a x ( 0, 0)a b> > 013 =+− yx 3 2 2 3 10 S ABC , ,SA SB SC SA SB SC= = A BC S− − 1 2 2 2 2 2 4y x= P : 2 3 0l x y− + = A. 3 B. 5 C．2 D. 5－1 10．如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，若点 在平面 内运动，使得 的 面积为定值，则动点 的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线 二．填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．已知平行直线 ，则 的距 离________；点 到直线 的距离 ． 12．双曲线 的焦距是 ，渐近线方程是 ． 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长 棱长等于 ，体积等于 14．已知圆 C 的圆心 ，点 在圆 C 上，则圆 C 的 方程是 ；以 A 为切点的圆 C 的切线方程是 ． 15．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥平面 ABC。 若 AB=AC=AA1=1，BC= ，则异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角为 ． . 16．若棱长为 的正方体的表面积等于一个球的表面积，棱长为 的正方体的体积等于该球的体积，则 的大小关系是 ． 17．设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ， 则点 的坐标是 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分 15 分） 如图，直角三角形 的顶点坐标 ，直角顶点 ，顶点 在 轴 上，点 为线段 的中点． （Ⅰ）求 边所在直线方程； （Ⅱ）圆 是△ABC 的外接圆，求圆 的方程﹒ 19．（本小题 15 分） 如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 中点．求证： （Ⅰ） ∥平面 ； （Ⅱ） ． 20．（本小题 15 分） 2 2 12 x y− = AB α A P α ABP△ P 012:,012: 21 =++=−+ yxlyxl 21,ll ( )0,2 1l ( )2,0 ( )1A − ，1 2 a b a b， 1 2F F， 2 2 13 x y+ = ,A B 1 25F A F B=  A ABC ( 2 0)A − ， (0, 2 2)B − C x P OA BC M M P ABCD− ABCD PCD ⊥ ABCD M PC PA MDB PD BC⊥ 俯视图 侧视图正视图 1 1 11 2 y xP O C B A B C A1 C1 B1 A P M D C BA 已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 ． (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设直线 交椭圆 E 于 A，B 两点， 判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并 说明理由． 21．（本小题 15 分） 如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， ， 底面 ，且 ， 分别为 的中点. (Ⅰ)求证： ； (Ⅱ)求 与平面 所成的角的正弦值. 22．（本小题 14 分） 已知平面上的动点 及两定点 ，直线 的斜率分别是 ，且 · （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设直线 与曲线 交于不同的两点 · (1)若 ( 为坐标原点)，证明点 到直线 的距离为定值，并求出这个定值； (2)若直线 的斜率都存在并满足 ，证明直线 过定点，并求 出这个定点． 嵊州市高级中学 2016 学年第一学期期末考试 2 2 2 2 1(a 0)x y ba b+ = > > (0, 2） 2 2 1x my m R= - Î，( ) 9( 4- , 0) P ABCD− AD BC 090BAD∠ = PA ⊥ ABCD 2PA AD AB BC= = = ,M N ,PC PB PB DM⊥ CD ADMN ( ),P x y ( ) ( )2,0 , 2,0A B− PA PB、 1 2k k、 1 2 1 4k k = − P C :l y kx m= + C M N、 OM ON⊥ O O l BM BN、 1 4BM BNk k = − l N P M D CB A x y B A OG 高二数学答题卷 命题范围：必修 2 选修 2-1 命题人：徐玉玲 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A B D C D B 二．填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11． ； 12． , ； 13． ， ； 14． ， ； 15． ； 16． ； 17． ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分 15 分） 如 图 ， 直 角 三 角 形 的 顶 点 坐 标 ， 直 角 顶 点 ，顶点 在 轴上，点 为线段 的中点． （Ⅰ）求 边所在直线方程； （Ⅱ）圆 是△ABC 的外接圆，求圆 的方程﹒ 解：（1） ， （2 分） ； （4 分） ﹒ （7 分） （2）由（1）可得 ， （9 分） ， （11 分） ﹒ （15 分） 19．（本小题 15 分） 如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 中点．求证： （Ⅰ） ∥平面 ； （Ⅱ） ． 证明：（Ⅰ）连结 交 于 ，连结 ， 2 分 在 中， 分别是 的中点， 2 5 5 5 5 2 3 2 2y x= ± 5 2 3 ( )2 22 10x y− + = 3 4y x= + 3 π a b ( )0 ±，1 ABC ( 2 0)A − ， (0, 2 2)B − C x P OA BC M M 2ABk = − 2 2BCk∴ = 2 2 22BC x∴ −直线 的方程是y= ( )4,0C ( )1 0M∴圆心 ， ( )2 21 9M x y∴ − + =圆 的方程是 P ABCD− ABCD PCD ⊥ ABCD M PC PA MDB PD BC⊥ AC BD O MO PAC ,M O ,CP CA y xP O C B A P M D C BA ∥ ， 5 分 又 ∥平面 ． 7 分 （Ⅱ） 四边形 是矩形， 9 分 又 平面 平面 , 12 分 而 , ． 15 分 20．（本小题 15 分） 已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 ． (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设直线 交椭圆 E 于 A，B 两点， 判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并 说明理由． 解：(Ⅰ)由已知得 解得 ， 所以椭圆 E 的方程为 ． 7 分 (Ⅱ)设点 ，则 由 所以 从而 所以 不共线，所以 为锐角. MO∴ PA ,MO MDB PA MDB⊂ ⊄平面 平面 ∴ PA MDB  ABCD BC CD∴ ⊥  PCD ⊥ ABCD BC PCD∴ ⊥ 平面 PD PCD⊂ 平面 ∴ PD BC⊥ 2 2 2 2 1(a 0)x y ba b+ = > > (0, 2） 2 2 1x my m R= - Î，( ) 9( 4- , 0) 2 2 2 2, 2 ,2 , b c a a b c ì =ïïï =íïï = +ïî 2 2 2 a b c ì =ïï =íïï =î 2 2 14 2 x y+ = 1 1 2 2( y ),B( , y ),A x x 1 1 2 2 9 9GA ( , ),GB ( , ).4 4x y x y= + = +  2 22 2 1 (m 2) y 2 3 0, 14 2 x my myx y ì = -ïï + - - =íï + =ïî 得 1 2 1 22 2 2 3y + y = , y y =m 2 m 2 m + + ， 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 5 5GA GB ( )( ) (my )(my )4 4 4 4x x y y y y= + + + = + + +   2 2 2 1 2 1 2 2 2 5 25 5 3(m +1) 25(m +1) y ( y )4 16 2(m 2) m 2 16 my m y= + + + = - ++ + 2 2 17 2 016(m 2) m += >+ cos GA,GB 0, GA GBá ñ>   又 ， AGBÐ x y B A OG 故点 G 在以 AB 为直径的圆外． 15 分 21．（本小题 15 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB⊥DM； (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角正弦值. （I）因为 是 的中点， ， 所以 . 因为 平面 ，所以 ， 从而 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 7 分 （II）取 的中点 ，连结 、 ， 则 ， 所以 与平面 所成的角和 与平面 所成的角相等. 因为 平面 ， 所以 是 与平面 所成的角. 在 中， . 故 与平面 所成的角的正弦值 . 15 分 22．（本小题 14 分） 已知平面上的动点 及两定点 ，直线 的斜率分别是 ，且 · （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设直线 与曲线 交于不同的两点 · (1)若 ( 为坐标原点)，证明点 到直线 的距离为定值，并求出这个定值； (2)若直线 的斜率都存在并满足 ，证明直线 过定点，并求 出这个定点． 解析：(1)由题意得 y x＋2· y x－2＝－ 1 4(x≠±2)， 即 x2＋4y2－4＝0(x≠±2)，所以 P 点的轨迹 C 的方程为 x2 4 ＋y2＝1(x≠±2)﹒ （4 分） (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得Error! 化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 所以 x1＋x2＝ －8km 4k2＋1，x1x2＝ 4m2－4 4k2＋1. 所以 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. （6 分） 9( 4- , 0) N PB PA PB= AN PB⊥ AD ⊥ PAB AD PB⊥ PB ⊥ ADMN DM ⊂ ADMN PB DM⊥ AD G BG NG //BG CD BG ADMN CD ADMN PB ⊥ ADMN BGN∠ BG ADMN Rt BGN∆ 10sin 5 BNBNG BG ∠ = = CD ADMN 10 5 ( ),P x y ( ) ( )2,0 , 2,0A B− PA PB、 1 2k k、 1 2 1 4k k = − P C :l y kx m= + C M N、 OM ON⊥ O O l BM BN、 1 4BM BNk k = − l N P M D CB A ①若 OM⊥ON，则 x1x2＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， 即(1＋k2) 4m2－4 4k2＋1＋km －8km 4k2＋1＋m2＝0， 化简得 m2＝ 4 5(1＋k2)， （8 分） 此时点 O 到直线 l 的距离为 d＝ |m| 1＋k2＝ 2 5 5 ，即点 O 到直线 l 距离为定值 2 5 5 .（10 分） ②kBM·kBN＝－ 1 4，即 y1 x1－2· y2 x2－2＝－ 1 4. 即 x1x2－2(x1＋x2)＋4＋4y1y2＝0，即 x1x2－2(x1＋x2)＋4＋4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2 ＝0，即 4m2－4－ 8km4km－2 4k2＋1 ＋4m2＋4＝0， （12 分） 化简得 m(m＋2k)＝0，解得 m＝0 或 m＝－2k. 当 m＝0 时，直线 l 恒过原点；当 m＝－2k 时，直线 l 恒过点(2,0)，此时直线 l 与曲线 C 最 多 只 有 一 个 公 共 点 ， 不 符 合 题 意 ． 所 以 ， 直 线 l 恒 过 定 点 ， 定 点 坐 标 是 (0,0)． （14 分）