2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在平面直角坐标系中，点P的直角坐标为。若以圆点O为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意 OP=2，设极角为θ，点P的直角坐标为、所以cosθ=，sinθ=，所以，则点P的极坐标可以是：（2，－）‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化 ‎2．双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在双曲线的标准方程中， ，由题意得双曲线焦点在轴上，‎ 所以渐近线方程为 故选 ‎3．条件，且是的充分不必要条件，则可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由是的充分不必要条件可得q是p的充分不必要条件，结合选项可得结果.‎ ‎【详解】‎ 是的充分不必要条件则q是p的充分不必要条件，因为条件，结合选项可知是符合题意.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了原命题与逆否命题等价，充分不必要条件的定义，属于基础题.‎ ‎4．已知函数的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能的是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由函数导函数的图象分析导数的符号，由导数与函数单调性的关系，分析可得函数f（x）的单调性，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由导函数f'（x）的图象得：‎ 在（﹣∞，﹣2）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，‎ 在（﹣2，﹣1）上，f'（x）的图象在x轴上方，即f′（x）＞0，则f（x）递增，‎ 在（﹣1，+∞）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意所给的函数图象为函数的导函数图象．注意导函数为负则原函数单调递减，导函数为正，则原函数单调递增.‎ ‎5．若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出表示的可行域如图，由，得，平行直线，当直线经过时， 有最大值，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎6．下列说法不正确的是（ ）‎ A．若“且”为假,则,至少有一个是假命题.‎ B．命题“”的否定是“”.‎ C．设是两个集合,则“”是“”的充分不必要条件.‎ D．当时,幂函数在上单调递减.‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可判定为真命题；对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得是正确的；对于C中，根据充要条件的判定可得应为充要条件，所以不正确；对于D中，根据幂函数的性质，可得是正确的，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可知若“且”为假，则至少有一个是真命题；对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“‎ ‎”的否定是“”是正确的；对于C中，设是两个集合，则“”是“”的充要条件，所以不正确；对于D中，根据幂函数的性质，可知当时，幂函数在上单调递增是正确的，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中熟记简单的复合命题的真值表、充要条件的判定、全称命题与存在性命题的关系，以及幂函数的性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．函数 在区间(-1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． B． C．(-3 ，＋∞) D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，f′（x）=3x2+a≥0在（-1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=x3+ax-2在区间（-1，+∞）上是增函数，∴f′（x）=3x2+a≥0在（-1，+∞）上恒成立，即a≥-3x2，设g（x）=-3x2，∴g（x）≤g（0）=0，∴a≥0．即数a的取值范围是[0，+∞）．故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法．‎ ‎8．函数的部分图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 函数是偶函数，‎ 的图象关于轴对称，‎ 故排除B，‎ 又，‎ 故排除D.‎ ‎ 在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.‎ ‎9．已知函数-1在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由-1得，令，求导研究的单调性，由y=a+1与在区间上有一个交点即可得出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎-1则，令 ‎ 可得在（0,1）递减，在（1,2）递增，时， ，=2,所以函数-1在区间上至少有一个零点转化为y=a+1与在区间上有交点，即a+12, a1.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点问题，采用变量分离把问题转化为函数图象交点问题，属于中档题.‎ ‎10．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则＝(　　)‎ A．0 B．-4 C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】先对f（x）=x2+2xf′（1）两边求导，然后代入x=1得f′（1），从而得到f（x），进而求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=x2+2xf′（1），∴f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）=-2，所以f(x)＝x2＋2xf′(1)= x2-4x所以f(2)=-4，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属基础题．‎ ‎11．已知函数及其导数，若存在使得，则称是 的一个“巧值点”.给出下列五个函数：①，②，③，④，其中有“巧值点”的函数的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①， 有“巧值点”② ， 无解，无“巧值点”③ ， 令由零点在性定理，所以在上必有零点，f（x）有“巧值点”④ ,即,无解，所以f（x）无“巧值点”。所以有有“巧值点”的是①③，选B.‎ ‎12．已知函数是定义在R上的增函数， ,则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：结合不等式的特征构造新函数，结合函数的单调性和函数值的特征整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：令，则原不等式等价于求解不等式，‎ ‎，‎ 由于，故，函数在定义域上单调递减，且，据此可得，不等式即： ，‎ 结合函数的单调性可得不等式的解集为 .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.‎ 二、填空题 ‎13．复数 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：.‎ ‎【考点定位】复数的基本运算.‎ ‎14．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n条线段，将圆最多分割成______部分．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设条直线将圆最多分成的部分数,组成数列，利用归纳推理可得，利用累加法可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设条直线将圆最多分成的部分数组成数列，‎ 则,,‎ ‎,‎ 归纳可得，‎ ‎,‎ 以上式子相加整理得，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎15．已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为_________‎ ‎【答案】-3．‎ ‎【解析】试题分析：，由题意，，‎ ‎，易知，，所以．‎ ‎【考点】导数的几何意义，定积分的几何意义．‎ ‎16．点P是曲线上任意一点，则点P到直线y=x-3的距离最小值_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-3平行时，点P到直线y=x-3的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x-3的距离即为所求．‎ ‎【详解】‎ 点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-3平行时，点P到直线y=x-3的距离最小．直线y=x-3的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数 y′=2x-=1，x=1，或 x=-（舍去），故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1）， 点（1，1）到直线y=x-3的距离为.故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．‎ 三、解答题 ‎17．设：函数在是增函数；：方程表示焦点在轴上的双曲线．‎ ‎(1)若为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）对函数求导，根据函数在 上递增可知，导函数恒为非负数，结合二次函数判别式列不等式，可求得的取值范围.（2）先求得真时，的范围.“且”为假命题，“或”为真命题，也即一真一假，故分为“真假”和“假真”两类，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知的解集为R，‎ 则，解之得。‎ ‎（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线，‎ 则即． ‎ ‎ 因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以p和q一真一假． ‎ 当p真q假时，得；‎ 当p假q真时，得． ‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数在给定区间上恒成立的问题，考查椭圆的焦点问题，考查含有简单逻辑联结词命题真假的判断以及分类讨论的数学思想，属于中档题.‎ ‎18．设函数f（x）=aexlnx+，‎ ‎（1）求导函数f′（x）‎ ‎（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x﹣1）+2,求a，b．‎ ‎【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2‎ ‎【解析】（1）根据导数的运算法则可求出导函数f′（x）；（2）利用求出的导函数及切线方程，有f（1）=2，f′（1）=e，解出a,b即可；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由f（x）=aexlnx+，‎ 得;‎ ‎（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，‎ 将x=1代入切线方程得：y=2．‎ 将x=1代入函数f（x）得：f（1）=b．‎ ‎∴b=2．‎ 将x=1代入导函数，‎ 则f'（1）=ae=e．‎ ‎∴a=1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算法则，导数的几何意义等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．‎ ‎19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的上点 对应的参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线，直线的参数方程为 ‎（1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由对应的参数得，解得，再代入得，根据三角函数同角关系：消参数得普通方程，最后利用 将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用参数方程表示点到直线距离公式得，最后利用三角函数有界性求最值.‎ 试题解析：解：（1）当，所以 曲线的参数方程为（为参数，），‎ 有得，带入得，即，‎ 化为普通方程为，为椭圆曲线化为极坐标方程为 ‎（2）直线的普通方程为，点到直线的方程距离为所以最小值为 ‎20．设函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎（2）若是函数的极值点，求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1），由题可知，在上有解，‎ 所以，由此可求的取值范围；‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，可得.‎ 所以，令，解得：或.‎ 讨论单调性，可求函数在上的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 由题可知，在上有解，‎ 所以，‎ 则，即的取值范围为.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 所以，令，解得：或.‎ 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.‎ 所以函数在上的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数与函数的单调性，极值的关系，以及再给定区间上的最值问题，属基础题.．‎ ‎21．已知抛物线的焦点坐标为 ‎（1）求抛物线的标准方程.‎ ‎（2）若过的直线与抛物线交于两点，在抛物线上是否存在定点,使得以为直径的圆过定点.若存在，求出点,若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程．‎ ‎ （2）由题意可知l的斜率存在，可设，代入．得．利用⇒恒成立，利用韦达定理即可得存在点P（2，2）满足题意．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以，所以a=2，故得方程为.‎ ‎（2）设，，由于直线斜率一定存在，故设,‎ 联立得，‎ ‎，‎ 由题知,即即，‎ 即化简可得：，‎ 当时等式恒成立，故存在定点（2,2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意“以为直径的圆过定点”的合理转化，属于中档题．‎ ‎22．已知函数. ‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有,成立，求m的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）.‎ ‎【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（2）根据题意可得f（x2）-x22）＜f（x1）-x12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=， ‎ m≥0时，f′（x）＞0， 故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增； ‎ m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为： △=m2-4m＞0， ‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞， ‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，‎ 故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减； ‎ ‎（2）由（1）知，当m＞0时，函数f（x）在（0，+∞）递增， ‎ 又[1，2]（0，+∞），故f（x）在[1，2]递增； ‎ 对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）， 故f（x2）-f（x1）＞0， ‎ 由题意得：f（x2）-f（x1）＜， 整理得：f（x2）-＜f（x1）-， ‎ 令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx， 则F（x）在[1，2]递减， 故F′（x）=， ‎ 当x∈[1，2]时，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤， ‎ 令h（x）=，则h′（x）＞0， 故h（x）在[1，2]递增， ‎ 故h（x）∈[，］， 故m≤． ‎ 实数的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系，通过构造函数，利用函数单调性转化为导函数小于等于0恒成立来求参数范围，考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题.‎