四川省泸县第五中学2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省泸县第五中学2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第五中学高三第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数z1＝2+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2＝‎ A．﹣5 B．5 C．﹣3+4i D．3﹣4i ‎3．双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎4．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： ‎ ‎①样本数据落在区间的频率为0.45；‎ ‎②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．已知，向量在向量上的投影为1，则与的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知一条对称轴为，则 A． B． C． D．‎ ‎7．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知，则a，b，c的大小关系 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数在为单调递增函数，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为 A． B． C．1 D．2‎ ‎11．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎12．已知函数，若对任意的在区间上总存在唯一的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎14．已知，则_____________.‎ ‎15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.‎ ‎16．已知函数，有下列四个命题：‎ ‎①函数是奇函数； ②函数在是单调函数；‎ ‎③当时，函数恒成立； ④当时，函数有一个零点，其中正确的是_______‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.‎ ‎（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？‎ 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 不喜欢阅读中国古典文学 总计 ‎（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望 附表及公式：.‎ ‎18．（12分）记为数列的前n项和，已知.‎ ‎（1）求的值及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和.‎ ‎19．（12分如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点. ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）点在线段上，且，求平面与平 面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知抛物线焦点为，直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若抛物线上一点纵坐标为，直线分别交准线于.求证：以为直径的圆过焦点.‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎2020年春四川省泸县第五中学高三第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1-5:CABDA 6-10:ACACA 11-12:BB ‎13． 14． 15． 16．③④‎ ‎17．（1）‎ 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 ‎42‎ ‎30‎ ‎72‎ 不喜欢阅读中国古典文学 ‎30‎ ‎18‎ ‎48‎ 总计 ‎72‎ ‎48‎ ‎120‎ 所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.‎ ‎（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且 ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 则.‎ ‎18．解：（1）当时，，‎ 故，即，又，故对任意，.‎ ‎（2）由题知，‎ 则前n项和.‎ ‎19．（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴‎ ‎∵平面底面，平面底面，‎ ‎∴底面平面，∴‎ 又由题意可知为正方形，‎ 又，∴平面 平面，∴平面平面 ‎（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，‎ 设平面的法向量为，则 令，则，∴‎ 由（1）知平面的法向量可取为∴‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎20．（1）到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为，‎ 最小为通径，所以，解得，所以抛物线方程为.‎ ‎（2）抛物线焦点，准线方程：，由点纵坐标为，得，‎ 当直线与轴垂直时， 直线方程为，此时，， ，‎ 直线：，直线：，所以，，，‎ 所以，圆心坐标为，半径，焦点到圆心的距离，‎ 此时，以为直径的圆过焦点.当直线与轴不垂直时， ‎ 设直线，设，‎ ‎，得，，，‎ 直线为代入准线得：‎ 同理可得 ‎，所以，所以焦点在以为直径的圆上.‎ 综上，以为直径的圆过焦点.‎ ‎21．（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，‎ 令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），‎ 由函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点，可知g（x）在区间（0，+∞）内有两个不同的变号零点，‎ 由可知，‎ 当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去.‎ 当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；‎ 由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；‎ 故要满足题意，必有，解得：a＞2e；‎ 又,∴函数g（x）在（1，）内有一个零点，‎ 又当时，g（x），∴在（）内有一个零点，‎ ‎∴a＞2e满足题意.‎ ‎（2）由（1）可知，，故要证：，‎ 只需证明：，即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，‎ 构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，‎ 由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h（1）＝0得证.‎ ‎22．（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；‎ 由，得，则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，.‎ ‎23：（1）不等式等价于或或 解得或或，所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 所以， 解得． 故实数的取值范围是．‎