2019年长沙市、南昌市部分学校高三第一次联合模拟考试理科数学(解析版)

2019年长沙市、南昌市部分学校高三第一次联合模拟考试理科数学(解析版)

2019 年长沙市、南昌市部分学校高三第一次联合模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1． 3 i 2 i   （ ） A． 6 1 i5 5 B． 6 i5  C．1 i D．1 i 1．答案：D 解析： 3 i (3 i)(2 i) 5 5i 1 i2 i (2 i)(2 i) 5          ． 2．已知集合 2{ | 2 1}, { | , }A x x B x x t a t A        ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ） A．( , 2]  B．[ 2,3] C．[2,3] D．[3, ) 2．答案：C 解析：由题可知 ( 2,1)t   ，所以 2 [ , 4 )x t a a a     ，所以 { | 4 }B x a x a   ≤ ，由 A B ， 得 2 4 1 a a     ≤ ≥ ，解得 2 3a≤ ≤ ． 3．已知数列{ }na 为等比数列，若 2 6 5 916, 128a a a a    ，则 2a  （ ） A．2 B．16 19 C． 2 3 D．16 17 3．答案：D 解析：设等比数列{ }na 的公比为 q ，则由题意得 3 5 9 2 6 128 8, 216 a aq qa a      ， 4 2 6 2 2 2 2 1617 16, 17a a a a q a a        ． 4．某工厂经过技术改造，降低了能源消耗，职能部门从某车间抽取部分工人进行调查，发现他们一天的 能源消耗指数均在 50～350 之间，按照[50,100)， [100,150)， [150,200)，[200,250) ， [250,300)，[300,350] 分组，得到频率分布直方图如图所示．若采用分层抽样的方法从能源消耗指数在[50,200)内的工人中抽取 10 人进行业务指导，则应从能源消耗指数在[100,150)内选取的人数为（ ） A．5 B．3 C．2 D．4 4．答案：B 解析：由题意可得，(0.0024 0.0036 0.0044 0.0024 0.0012) 50 1x       ，解得 0.0060x  ，所以 前三组的人数之比为0.0024 : 0.0036 : 0.0060 2 : 3:5 ， 故应从[100,150) 内选取的人数为 310 32 3 5   ． 5．函数 ( ) sin ( 0)3f x x        的图象向右至少平移 4  个单位长度才能与原函数的图象关于 x 轴对 称，则函数 ( )f x 的单调递增区间为（ ） A． 7, ( )24 2 24 2 k k k         Z B． 7, ( )24 24k k k        Z C． 5 , ( )24 2 24 2 k k k          Z D． 5 , ( )24 4 24 4 k k k          Z 5．答案：C 解析：由题意， 2 4 2T     ，则 2 4, ( ) sin 4 3f x xT          ，于是由 2 4 2 ,2 3 2k x k k       Z≤ ≤ ，得 ( )f x 的单调递增区间为 5 , ( )24 2 24 2 k k k          Z ． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的 M 的值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．答案：A 解析：执行程序框图， 142, 3x M  ，不满足 m N ， 323, 7x M  ，不满足 m N ， 864, 15x M  ， 不满足 m N ， 5, 8x m  ，满足 m N ，此时退出循环，所以输出的 8M  ． 7．如图为某几何体的三视图，网格中小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ） A．16 16 2 48  B．32 16 2 48  C． 48 16 2 48  D． 48 16 2 56  7．答案：A 解析：由三视图知，该几何体可看作一个三棱柱与一个圆柱的 3 4 构成的组合体，如图，其中三棱柱的底面 是直角边为 4 的等腰直角三角形、高为 4，圆柱的底面半径为 4、高为 4，所以该几何体的表面积 21 3 34 4 2 4 2 4 4 2 2 4 4 16 16 2 482 4 4S                   ． 8．二项式 8 2 2 2ax     的展开式中 6x 的系数为56 2 ，则 1 ( cos )a x x dx  （ ） A．2 B．1 C． 3 2 D． 1 2 8．答案：C 解析：二项式 8 2 2 2ax     的展开式中含 6x 的项为 5 5 2 3 3 3 3 8 2( ) 7 2 , 7 2 56 22C ax a x a        ， 2a  ， 所以 2 2 2 1 1 1 1 1 3( cos ) ( cos ) sin2 2 a x x dx x x dx x x             ． 9．已知函数 ( ) ( ) ( 0, )xf x x a e a a   R 的图象在点(2, (2))f 处的切线 1l 的斜率与在点( 2, ( 2))f  处 的切线 2l 的斜率之积为 3 ，则切线 1l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． 24e B． 22e C． 2e D． 2 2 e 9．答案：B 解析： ( ) ( ) ( 1)x x xf x e x a e x a e       ，则 2 2(2) (3 ) , ( 2) ( 1)f a e f a e       ，由题意可得 2 2(3 ) [ ( 1) ] 3a e a e      ，即 2 2 0a a  ，又因为 0a  ，所以 2a  ，所以 ( ) ( 2) xf x x e  ， ( ) ( 1) xf x x e   ，则 2(2) 0, (2)f f e  ，于是切线 1l 的方程为 2 ( 2)y e x  ，令 0y  ，得 2x  ，令 0x  ，得 22y e  ，所以切线 1l 与坐标轴围成的三角形的面积为 2 21 2 2 22 e e   ． 10．已知 1 2,F F 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的左、右焦点，点 A 为双曲线C 的右顶点，且 直线 2 : bl y a 与双曲线C 的左右两支分别交于 ,P Q 两点，若 1 2 2PAF QAF     ，则双曲线C 的离心 率的取值范围为（ ） A．(1, 2) B． 5 11, 2      C．( 2, ) D． 5 1,2       10．答案：A 解析：由 2 2 2 2 2 1x y a b by a      ，得 x c  ，所以 2 2 , , ,b bP c Q ca a           ，因为 ( ,0)A a ，所以 2 , bAP c a a        ， 2 , bAP c a a       ，又 1 2 2PAF QAF     ，所以 2 PAQ    ，则 0AP AQ    ， 即 4 4 2 2 2 2( )( ) 0b bc a c a a ca a        ，因为 2 2 2c a b  ，所以 4 2 2 0bb a   ，所以 2 2 1b a  ， 所以双曲线C 的离心率 2 1 2c be a a        ，又 1e  ，所以1 2e  ． QP F2F1 AO 11．如图，在四棱锥C ABDE 中，四边形 ABDE 为矩形， 2, , ,EA CA CB AC CB F G    分别为 ,AB AE 的中点，平面 ABDE  平面 ABC ，若四面体CFDG 的各个顶点均在球O 的表面上，则球O 的 体积（ ） A．11 11 6  B．9 2 C．36 2 D．72 2 A B C D G E F 11．答案：A 解析：因为 F 为 AB 的中点，CA CB ，所以CF AB ．因为平面 ABDE  平面 ABC ，所以CF  平 面 ABDE ，则 ,CF FD CF FG  ．易知在矩形 ABDE 中， 2 2AB  ， 3, 6, 3FG FD DG   ， 所以 2 2 2DG GF FD  ，则GF FD ，因为点 , , ,F C D G 均在球O 上，所以以 F 为顶点， , ,FC FD FG 为相邻棱的长方体的顶点均在球O 上，则球O 的直径 2 2 22 11R FC FD FG    ，即 11 2R  ， 则球O 的体积 3 34 4 11 11 11 3 3 2 6V R         ． 12．已知函数 ( 2) 2 1 , 2 ( ) 33 , 21 xx x f x xx          ，若函数 ( ) ( ) 2g x f x mx m   有三个不同的零点，则实 数 m 的取值范围为（ ） A．( 1,0) B．(0,1) C．( 1,1) D．(1,3) 12．答案：B 解析：函数 ( ) ( ) 2g x f x mx m   的零点即方程 ( ) ( 2)f x m x  的根， 2 1 , 2( ) 32 , 21 x xf xm x xx         ， 根据题意可知直线 y m 与 2 1 , 2 3 , 21 x x y xx       的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出 这两个函数的图象，如图，由图可知当0 1m  时，两个函数的图象有三个不同的交点，即函数 ( ) ( ) 2g x f x mx m   有三个不同的零点． 1 O m 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，准线与 x 轴交于点 A ，点 (0,3)M ，若 AMF△ 为正三 角形，则 p  ． 13．答案： 2 3 解析：由题意得 3 32 p  ，解得 2 3p  ． 14．已知 ,P Q 分别是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 的边 ,CD EF 的中点，则 AQ BP    ． 14．答案：13 2 解析：解法一：由正六边形的性质知， 1 , 22FQ BC AF CD CP        ，则由题意，得 12 ,2AQ AF FQ CP BC BP BC CP              ，   2 21 5 12 22 2 2AQ BP CP BC CP BC CP CP BC BC                       2 25 1 132 1 1 2cos60 22 2 2         ． 解法二：以 A 为坐标原点， ,AB AE   的方向分别为 ,x y 轴的正方向，建立平面直角坐标系如图所示， 则 1 3 3 5 3 3(0,0), (2,0), (0, 2 3), ( 1, 3), (3, 3), , , ,2 2 2 2A B E F C Q P               ， 1 3 3 1 3 3 1 27 13, , , ,2 2 2 2 4 4 2AQ BP AQ BP                          ． A B C DE F Q P x y 15．某玩具厂拟定生产两款新毛绒玩具样品，一款为毛绒小猪，另一款为毛绒小狗．由设计图可知，生产 这两款毛绒玩具均需相同材质的填充物、长毛绒、天鹅绒，且每个毛绒小猪需填充物 1 200g、长毛绒 25 cm、 天鹅绒 30 cm，每个毛绒小狗需填充物 720g、长毛绒 15 cm、天鹅绒 9 cm，现有所需填充物 144 000g、长 毛绒 3 000 cm、天鹅绒 2 700 cm，若每个毛绒小猪与毛绒小狗的出厂价分别为 64 元、36 元，则生产这批 毛绒玩具的最大销售额为 元． 15．答案：7440 解析：设生产毛绒小猪 x 个，毛绒小狗 y 个，则由题意，得 1200 720 144000 25 15 3000 30 9 2700 , x y x y x y x y       N ≤ ≤ ≤ ，即 5 3 600 10 3 900 , x y x y x y      N ≤ ≤ ，销售额 64 36z x y  ． 作出可行域，如图中阴影部分包含的整数点，由图可知，当 64 36z x y  经过点 (60,100)A 时取得最大 值，即 max 64 60 36 100 7440z      ． O A x y 10 3 900x y  5 3 600x y  16．已知各项均为正数的数列{ }na 满足 3 1 1 1 28, 2 2 , ,2 n n n n n nn n n aa a a c b c c          ，且数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，则使 10nT  的 n 的最小值为 ． 16．答案：121 解析：由 3 1 2 2n n na a     ，得 1 42 2 n n n n a a    ，即 1 4n nc c   ，所以数列{ }nc 是首项为 1 1 42 ac   ，公 差为 4 的等差数列，故 4nc n ，所以 1 1 1nb n n n n       ， 则 1 2 ( 2 1) ( 3 2) ( 1 ) 1 1n nT b b b n n n                ， 则由 1 1 10n    ，解得 120n  ，故使 10nT  的 n 的最小值为 121． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分 ABC ， BAD 为钝角， 120 , 2BCD BC CD     ， : 2 :1AB AD  ． （1）求 ABD△ 的外接圆半径； （2）求 ABC△ 的面积． A B C D 17．解析：（1） 2, 120 , 30 , 30BC CD BCD CBD BDC ABD CBD               ， 在 BCD△ 中，由正弦定理，得 sin sin BD CD BCD CBD  ，即 2 sin120 sin 30 BD   ， 2 3BD  ．…2 分 在 ABD△ 中，由正弦定理，得 2, sin sin , 45 , 105sin sin 2 AB AD ABADB ABD ADB BADADB ABD AD              …4 分 又 6 2sin105 sin 75 4     ，………………………………………………………………………5 分 ABD△ 的外接圆的直径 2 32 6 2 2 6sin 6 2 4 BDR BAD     ， ABD△ 的外接圆的半径 3 2 6R   ．…………………………………………………………………7 分 （2）在 ABD△ 中，由正弦定理，得 sin sin AB BD ADB BAD  ， 22 3sin 2 6 2 3sin 6 2 4 BD ADBAB BAD       ．…………………………………………………………9 分 又 2 60ABC ABD    ，………………………………………………………………………………10 分 ABC△ 的面积 1 1 3sin (6 2 3) 2 3( 3 1)2 2 2S AB BC ABC          ．…………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为正方形，平面 BDEF  平面 ABCD ， //EF BD ， DE BD ， 2, 2,AD DE EF G   为 FC 上一点． （1）求证：平面 BDG  平面 ACF ； （2）若 FG GC ，求平面 ABF 与平面 BDG 所成锐二面角的余弦值． A B CD E F G 18．解析：（1）由题意知 BD AC ，设 AC BD O ，连接OF ，易知 2 2BD  ， 12 2EF BD DO    ，又 //EF BD ，∴四边形 DEFO 为平行四边形， //DE FO ， 又 DE BD ， BD FO  ．………………………………………………………………………………3 分 又 AC FO O ， BD  平面 ACF ．又 BD  平面 BDG ，所以平面 BDG  平面 ACF ．……5 分 （2）因为平面 BDEF  平面 ABCD ， DE BD ， DE  平面 ABCD ， ,AD DE DE DC  ，又 AD DC ，所以以 D 为坐标原点， , ,DA DC DE 所在直线分别为 , ,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标 系，则 1 3(0,0,0), (2,0,0), (2, 2,0), (0, 2,0), (1,1,2), , ,12 2D A B C F G     ， 1 3(0,2,0), ( 1,1,2), (2,2,0), , ,12 2AB AF BD DG               ．………………………………………7 分 设平面 ABF 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z  ， 则 1 1 1 1 2 0 2 0 n AB y n AF x y z               ，取 1 1z  ，得 1 (2,0,1)n   ．…………………………………………9 分 设平面 BDG 的一个法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z  ，则 2 2 2 2 2 2 2 0 1 3 02 2 n DB x y n DG x y z               ，取 2 1x  ，得 2 (1, 1,1)n    ．………………………………………11 分 1 2 1 2 1 2 3 15cos , 55 3 n nn n n n           ， 故平面 ABF 与平面 BDG 所成锐二面角的余弦值为 15 5 ．………………………………………………12 分 A B CD E F G O x y z 19．（本小题满分 12 分） 某零件加工厂有甲、乙两个生产车间，它们生产同一种零件，每生产一个该零件，需要的成本为 100 元， 每个零件售价 500 元．由于资金周转问题，目前甲车间已经改革了生产技术，生产能力有所提升，而乙车 间暂未进行技术改革．为了研究甲、乙两个车间的生产能力，零件加工厂记录了相同的 100 天内甲、乙两 个车间每天分别生产的零件个数，并整理得到下面的表格： 甲车间的日生产零件数/个 12 13 14 频数 20 40 40 乙车间的日生产零件数/个 12 13 14 频数 50 30 20 将频率视为概率，记 X 为该零件加工厂目前总的日生产零件数（单位：个）． （1）求 X 的分布列． （2）已知某手机制造厂每天向该零件加工厂购买零件，并且该手机制造厂对该零件的日需求量为 25 个， 约定：若零件加工厂的日生产零件数不超过手机制造厂对该零件的日需求量，则零件加工厂当日生产的全 部零件均以售价卖给手机制造厂；若零件加工厂的日生产零件数超过手机制造厂对该零件的日需求量，则 零件加工厂当日生产的零件按照手机制造厂对该零件的日需求量以售价卖给手机制造厂，超出的零件以成 本价卖给手机制造厂． ①不考虑其他成本，记 为零件加工厂销售该零件的日利润（单位：元），求 的分布列和期望； ②若调低售价为每个零件 490 元，则该手机制造厂对该零件的日需求量也相应地调整为 27 个．不考虑其 他成本，从零件加工厂销售该零件的日利润的期望值进行判断，你认为是否应该调低售价呢？试说明理由． 19．解析：（1）由题意及题表可知，甲车间每天生产 12，13，14 个零件的概率分别为0.2, 0.4, 0.4 ， 乙车间每天生产 12，13，14 个零件的概率分别为0.5, 0.3, 0.2 ．…………………………………2 分 从而 X 的所有可能取值为 24，25，26，27，28， ( 24) 0.2 0.5 0.1, ( 25) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.26, ( 26) 0.2 0.2 0.4 0.3 0.4 0.5 0.26, ( 27) 0.4 0.2 0.4 0.3 0.2, ( 28) 0.4 0.2 0.08 P X P X P X P X P X                             所以 X 的分布列为： X 24 25 26 27 28 P 0.1 0.26 0.36 0.2 0.08 ……………………4 分 （2）①由题意知 (500 100) , 24, 25 10 000, 26,27, 28 X X X     ……………………………………………………5 分 所以 的分布列为  9600 10000 P 0.1 0.9 ………………6 分 所以 ( ) 9600 0.1 10000 0.9 9960E       ．……………………………………………………………7 分 ②当手机制造厂对该零件的日需求量为 27 个时，记 1 为零件加工厂销售该零件的日利润（单位：元），按 照约定， 1 390 , 24,25,26,27, 10530, 28 X X X    ………………………………………………………………8 分 所以 1 的分布列为： 1 9360 9750 10140 10530 P 0.1 0.26 0.36 0.28 ………………9 分 所以 1( ) 9360 0.1 9750 0.26 10140 0.36 10530 0.28 10069.8E           ．……………………11 分 因为 1( ) ( )E E  ，所以应该选择调低售价．…………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2: 1(2 0)4 x yC bb    的右焦点为 F ， ,A B 是椭圆上关于原点对称的零点，且以 AB 为直 径的圆经过点 F ， : (3 2 2) :1AF BF   ． （1）求b 的值； （2）如图，设 ,P Q 分别为椭圆C 的右顶点与上顶点，若直线 1: ( 1 1)2l y x m m     与椭圆C 交于 ,M N 两点，求四边形 PMQN 面积的取值范围． x O N M P Q y l 20．解析：（1）设 F为椭圆C 的左焦点，连接 ,AF BF  ，由 : (3 2 2) :1AF BF   ，可设 BF t ， 则 (3 2 2)AF t  ．因为以 AB 为直径的圆经过点 F ， AF BF  ，…………………………1 分 易知以 AB 为直径的圆的圆心为坐标原点O ， F 在圆O 上，F F 为圆O 的直径，易知四边形 F AFB 是 矩形， AF t  ．根据椭圆的定义知， (4 2 2) 2 4AF AF t a      ，则 2 2t   ，……3 分 由勾股定理可得 2 22 [(3 2 2) ] 2 3, 3c t t c      ， 2 2 1b a c    ．……………………5 分 （2）由（1）知椭圆的方程为 2 2 14 x y  ，与直线l 的方程联立，消去 y 并整理得： 2 22 2 2 0x mx m    ， 则 2 2 2(2 ) 4(2 2) 4(2 ) 0m m m       ． 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，则 2 1 2 1 22 , 2 2x x m x x m     ．…………………………………………7 分 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 5 51 ( ) 4 ( 2 ) 4(2 2) 5 22 2 2MN x x x x x x m m m                   ． 点 P 到直线 MN 的距离 1 2 1 5 md  ，点Q 到直线 MN 的距离 2 2 1 5 md  ，……………………9 分 1 2 2 1 2 1 41 1, 5 5 5 m mm d d          ， 2 1 2 1 ( ) 2 22PMQNS d d MN m     四边形 ．…………………………………………………………11 分 由 1 1m   ，得 20 1, 2 2 2PMQNm S   四边形≤ ≤ ， 故四边形 PMQN 的面积的取值范围为(2,2 2]．…………………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分）已知函数 2( ) ( ) xf x x ax b e   ． （1）当 0a b  时，试讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）当 a b 时，若 ( ) 0f x e ≥ 恒成立，求实数 a 的取值范围． 21．解析：（1）因为b a  ，所以 2( ) ( ) xf x x ax a e   ，且定义域为 R ， 2( ) [ ( 2) ] xf x x a x e    ．………………………………………………………………………………2 分 令 ( ) 0f x  ，得 0x  或 2x a   ， ①当 2 0a   ，即 2a   时，当 ( ,0)x  时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增；当 (0, 2)x a   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减；当 ( 2, )x a    时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增． ②当 2 0a   ，即 2a   时， ( )f x ≥0 恒成立，所以 ( )f x 在( , )  上单调递增． ③当 2 0a   ，即 2a   时，当 ( , 2)x a    时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增；当 ( 2,0)x a   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减；当 (0, )x  时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增．…………………………5 分 （2）当 a b 时， 2( ) ( ) , ( ) 0xf x x ax a e f x e    ≥ 恒成立，即 min( )f x e≥ ． 2( ) [ ( ) 2 ] ( 2)( )x xf x x a x x a e x x a e        ， 当 0 4a≤ ≤ 时， 2 0, 0xx ax a e  ≥ ，所以 2( ) ( ) 0xf x x ax a e e    ≥ 恒成立．…………7 分 当 4a  时， ( , ]x a   时， 2 ( ) 0x ax a x x a a      ，所以 2( ) ( ) xf x x ax a e e   ≥ 成立， 当 ( , 2)x a   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减，当 ( 2, )x   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增， 所以 ( , )x a   时， 2 min( ) ( 2) (4 )f x f a e    ，令 2(4 )a e e ≥ ，解得 3 4a e ≤ ， 所以 34 4a e ≤ ．…………………………………………………………………………………………9 分 当 0a  时， ( , 2)x   时， 2( ) [ ( 1)] 0xf x x a x e e      ； 当 ( 2, )x a   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减，当 ( , )x a   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增， 所以 ( 2, )x   时， min( ) ( ) af x f a ae   ，令 aae e ≥ ，得 1 0aa e  ≥ ， 设 1( ) , 0ag a a e a   ，因为 1( ) 1 0ag a e     ，所以 ( )g a 在( ,0) 上单调递增， 注意到 ( 1) 0g   ，所以由 ( )g a ≥0 ，得 1 0a ≤ ．………………………………………………11 分 综上得， a 的取值范围是 3[ 1, 4]e  ．……………………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为 3 5 cos 1 5 sin x y        （ 为参数），以原点O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 经过极点O 与点C ． （1）求圆C 与直线l 的极坐标方程． （2）若直线l 与直线l 关于 y 轴对称，且直线l 与圆C 相交于 ,A B 两个不同的点，求 ABC△ 的面积． 22．解析：（1）圆C 的普通方程为 2 2( 3) ( 1) 5x y    ，即 2 2 2 3 2 1 0x y x y     ． 将 2 2 2 , cos , sinx y x y        代入上式，得圆C 的极坐标方程为： 2 2 3 cos 2 sin 1 0        ． 圆C 的圆心在直角坐标系中的坐标为( 3,1) ，则 3tan 3  ， 所以直线l 的极坐标方程为 ( )6   R ．………………………………………………………………5 分 （2）由题意可知直线l 的极坐标方程为 5 ( )6 6       R ． 设圆C 与直线l 的交点为 1 2 5 5, , ,6 6A B             ．将 5 6   代入 2 2 3 cos 2 sin 1 0        ， 得 2 2 1 0    ，解得 1 21 2, 1 2       ，所以 1 2 2 2AB     ， 所以 ABC△ 的面积为 2 1 5 62 2 ABAB        ．……………………………………………………10 分 3 2 1 1 2 4 B A C O 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 3f x a x  ，若不等式 ( ) 2f x  的解集为 4 ,03     ． （1）解不等式 ( ) 2 4f x x  ≤ ； （2）若不等式 ( ) 3 2 4f x x t  ≤ 有解，求实数t 的取值范围． 23．（1） ( ) 2f x  即 3 2a x  ，解得 2 2 3 3 a ax   ，则由题意得 2 4 3 3 2 03 a a      ，解得 2a   ， ( ) 2 4f x x  ≤ 可化为 3 2 2 4x x   ≤ ， 2 3 (3 2) ( 2) 4 x x x        ≤ 或 2 23 (3 2) ( 2) 4 x x x      ≤ ≤ ≤ 或 2 (3 2) ( 2) 4 x x x      ≤ ， 解得 24 3x  ≤ 或 2 13 x ≤ ≤ 或 ，所以 4 1x ≤ ≤ ， 所以不等式 ( ) 2 4f x x  ≤ 的解集为{ | 4 1}x x ≤ ≤ ．………………………………………………5 分 （2）不等式 ( ) 3 2 4f x x t  ≤ 等价于 3 2 3 6 4x x t   ≤ ． 3 2 3 6 (3 2) (3 6) 4x x x x       ≥ ，由题意知 4 4t  ≥ ，解得 8t ≥ ， 故实数t 的取值范围是[8, ) ．…………………………………………………………………………10 分