数学理卷·2018届四川省成都七中高三上学期半期考试（2017

数学理卷·2018届四川省成都七中高三上学期半期考试（2017

成都七中 2017—2018 学年度上期高 2018 届半期考试 数学试卷（理科）‎ 考试时间：120 分钟 满分：150 分 第 I 卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎2．命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 ‎3．设为等差数列，公差 ，为其前项和. 若，则（ ）‎ A．18 B．20 C．22 D．24‎ ‎4．如图，设 两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸选定一点 ，测出的距离为 50米，，，则 两点的距离为（ ）‎ A．米 B．50米 C．25米 D．米 ‎5．若等比数列的前5项的乘积为1，，则数列的公比为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎6．设 ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．曲线与轴围成的一个封闭图形的面积为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．把函数的图像向左平移个单位就得到了一个奇函数的图象，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知分别是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎12．已知，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则 ．‎ ‎14．已知平面向量与是共线向量且，则 ． ‎ ‎15．刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其实这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥中，垂直于平面，垂直于，且 ，则三棱锥的外接球的球面面积为 ．‎ ‎16．已知是正数，且函数 在区间上无极值，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知数列满足，，其中为的前项和，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若数列满足，的前项和为，且对任意的正整数都有，求的最小值．‎ ‎18．设三个内角 的对边分别为，的面积满足．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎19．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，点分别为棱的中点，的重心为，直线垂直于平面．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦．‎ ‎20．已知椭圆：的左、右焦点分别为 且离心率为，为椭圆上三个点，的周长为，线段的垂直平分线经过点 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求线段长度的最大值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若在时取到极值，求的值及的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若在时恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线上两点的极坐标分别为．圆的参数方程为(为参数).‎ ‎（1）设为线段的中点，求直线 的平面直角坐标方程；‎ ‎（2）判断直线与圆的位置关系．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数，且的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为正数，且，求证．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：DABAB 6-10：ABDCD 11、12：CC 二、填空题 ‎13．2 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1），，，‎ 两式相减得 注意到，，‎ 于是，所以.‎ ‎（2）‎ 所以的最小值为.‎ ‎18、（1）‎ ‎，.‎ ‎（2）或者，，‎ 因为，所以，，‎ 所以.‎ ‎19、(1) 连结 ，则在三角形中为中位线，于是，‎ 因为为中点，所以平行且等于. 所以在平行四边形中，平行于 因为在平面 上，所以平行于平面 ‎（2）分别以为轴建立空间直角坐标系 设，则 因为垂直于平面，所以有，‎ 解得，所以 面的法向量，面的法向量为 所以 结合图形知，二面角的预先为.‎ ‎20、（1），‎ ‎,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）当斜率不存在时，最大值为 当斜率存在时，设：‎ 联立与得：，‎ 中点坐标为 因为的垂直平分线经过点，所以（若为0，则中垂线为轴，这与题意不符）‎ 化简得：‎ 所以 所以最大值为4.‎ ‎21、（1），‎ ‎∵在时取到极值，∴，解得 故在处的切线方程为：‎ ‎（2）由定义域知：对于恒成立，可得 ‎①当时，在上，恒成立，所以此时在递减 注意到，故此时不恒成立 ‎②当时，在区间上，恒成立，所以此时在递增 ‎，故此时恒成立 ‎③当时，的单调减区间为，单调增区间为 在处取得最小值，只需恒成立 设 设，‎ ‎，在递减，又 所以即，解得 综上可知，若恒成立，只需的取值范围是.‎ ‎22、（1）的平面直角坐标为 于是的坐标为 所以的平面直角坐标方程为：‎ ‎（2）直线的方程为：‎ 圆的方程为：，‎ 到的距离 所以与相交.‎ ‎23、解：（1），‎ 设，则当时，；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ 由柯西不等式，‎ 所以.‎