2019-2020学年安徽省示范中学高二上学期入学考试数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省示范中学高二上学期入学考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省示范中学高二上学期入学考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.选C.‎ ‎【点睛】‎ 考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．‎ ‎2．在等比数列中，，则( )‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，由条件得q4=4，解得q2．进而得出结果．‎ ‎【详解】‎ 因为，解得.‎ 因为，所以.选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3．从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于20的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】这个两位数不大于20，①若十位为1，个位可以从0，2，3，4中选择一个，故包含4个基本事件，②若十位为2，则个位必须为0．数出所有基本事件个数，和基本事件总数即可求概率．‎ ‎【详解】‎ 从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成的两位数有10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40，41,42,43，共16个，其中不大于20的有10,12,13,14,20，共5个，故所求概率.选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率，计数原理，解题时要注意不要漏掉20．本题属于基础题．‎ ‎4．设满足约束条件，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合得到优解，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 作出可行域 ‎，当直线经过点时，取最小值-6.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎5．已知平面向量满足，且，则与的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设与的夹角为θ，由题意求得的值，可得θ的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 记与的夹角为，则，‎ 解得，即与的夹角为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的( )‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：模拟程序的运行，可得 S=0，n=1 S=2，n=2 满足条件S＜30，执行循环体，S=2+4=6，n=3 满足条件S＜30，执行循环体，S=6+8=14，n=4 满足条件S＜30，执行循环体，S=14+16=30，n=5 此时，不满足条件S＜30，退出循环，输出n 的值为5． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎7．在△中，角所对的边分别为，已知，，若该三角形有两解，则的取值范围是( )‎ A．（3,6） B．（0,3） C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域求出的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵在△ABC中, ， ∴由正弦定理得， ∵， ∴， 要使三角形有两解，得到：，且，即 ‎∴‎ 解得：， 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎8．如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是( )‎ A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差．‎ ‎【详解】‎ 平均数，‎ 方差，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9．边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则圆周率的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由几何概型中的面积型概率的求法，求出圆周率π的值即可得解．‎ ‎【详解】‎ 由几何概型可知，则.选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．‎ ‎10．已知为锐角，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 因为为锐角，所以，所以 ‎.因为为锐角.且，所以，则.选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎11．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则( )‎ A．2 B． C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，从而化得；从而可得，从而解得．‎ ‎【详解】‎ 因为，且当时，，所以，且，，所以，‎ 则在上的最大值为，‎ 解得，‎ 所以，故.选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的应用，属于基础题．‎ ‎12．已知向量，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用数量积运算可将不等式化简为，根据恒成立条件可得不等式组，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 当时，恒成立，则 当时，即 ‎ ‎，，解得：，‎ 当时，即 ‎ ‎，，解得：，‎ 在时恒成立可得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求解角的范围的问题.‎ 二、填空题 ‎13．一组数据从小到大排列，依次为，若它们的中位数与平均数相等，则______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x的方程，解方程得到x的值.‎ ‎【详解】‎ 因为数据2,3,4，，9,10的中位数与平均数相等，所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．‎ ‎14．在△中，角所对的边分别为，,，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可求的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎15．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简函数解析式为 ，可求范围，由题意方程在上有两个不同的解，作出函数的图象，数形结合可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，，画出的图象，‎ 可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎16．设等差数列的前项和为，若，则的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为．由,,,,联立解得：,可得,利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以， 解得，，‎ 则，故，‎ 令，，‎ 当取最小值时，的最大，‎ 所以当或，‎ 即或时，有最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，函数，且.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）若在上单调递增，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意可得的图象关于直线对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据在[-t，t]上单调递增，可得，且，由此解得t的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以的图象关于直线对称，‎ 所以，解得，‎ 又因为，所以，‎ 则的最小正周期.‎ ‎（2）因为，所以的单调递增区间为 ‎.‎ 因为在上单调递增，所以，解得.‎ 故的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．‎ ‎18．在等差数列中，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，以及恒等式的性质，可得首项和公差，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2），再由数列的裂项相消求和，可得所求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 所以，‎ 因为是等差数列，所以，所以，‎ 解得，则数列的公差，‎ 故.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和恒等式的性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．‎ ‎19．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：‎ 方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；‎ 方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元．‎ ‎（1）分别写出两种方案中推销员的月工资（单位：元）与月销售产品件数的函数关系式；‎ ‎（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：‎ 月销售产品件数 ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ 次数 ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎4‎ 把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）方案一概率为,方案二概率为.‎ ‎【解析】（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资与的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）方案一：，；‎ 方案二：月工资为,‎ 所以.‎ ‎（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则，解得，‎ 所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为；‎ 方案二中推销员的月工资超过11090元，则，解得，‎ 所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．‎ ‎20．已知△的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，当取最小值时，求边上的高.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0求出的值，即可确定出A的度数． (2)三角形的面积公可求，由余弦定理,基本等式可求，当且仅时等号成立，当取小值时，设边上高为，利用三角面公式即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ 即.‎ 在中，，故，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为△的面积为，所以，得，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时取等号，此时的值为2.‎ 所以当取最小值时，边上的高为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦弦定和余弦定理的应用，三形面积公式的应．熟练握相关公式理是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎21．函数，满足，且在上有最大值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用基本不等式求最值，解出m，n，得到函数的解析式．‎ ‎（2）将恒成立问题转化为求最值问题，从而求出参数取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，即.①‎ 当时，，‎ 因为在上有最大值，所以，②‎ 联立①②，且，解得，.‎ 故.‎ ‎（2）因为当时，恒成立，‎ 所以在上恒成立.‎ 令.‎ 由的图象可知，在（-1,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，在（2,3）上单调递增.‎ 因为，，所以，‎ 故，‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎22．数列中，，，.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列.‎ ‎（2）若，，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）9或35或133‎ ‎【解析】（1）分别写出和，做商，再用表示出，代入即可得q，由可得，得证；（2）由（1）得数列的通项公式，代入并整理，根据即得m+n的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为，所以，所以. ‎ 因为，所以， ‎ 所以. ‎ 因为，所以.‎ 故数列是以2为首项，为公比的等比数列. ‎ ‎（2）解：由（1）可得. ‎ 因为，所以，‎ 整理得，则. ‎ 因为，，所以，则的值为2或4或6. ‎ 当时，，，符合题意，则； ‎ 当时，，，符合题意，则； ‎ 当时，，，符合题意，则. ‎ 综上，的值为9或35或133.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求数列通项公式和已知通项公式求参数的和，解题关键在于细心验证m取值是否满足题干要求。‎