2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期12月月考数学试题
兰州一中 2017-2018-1 学期 12 月月考试题
数 学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，
考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.设命题 为则 p,2,: 2 nnNnp
A. nnNn 2, 2 B. nnNn 2, 2
C. nnNn 2, 2 D. nnNn 2, 2
2.椭圆 2 22 6x y 的焦点坐标是
A. (0, 3) B. ( 3,0) C. ( 3,0) D. (0, 3)
3.设 a，b 为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 2，则它的渐近线方程是
A．y=±3x B． 3
2y x C． 3y x D． 3
2y x
5.已知椭圆过点（0，3）且与双曲线
2 2
19 7
x y 有相同的焦点，则椭圆的标准方程为
A．
2 2
17 9
x y B．
2 2
19 7
x y
C．
2 2
116 7
x y D．
2 2
125 9
x y
6.动圆 M 与圆 2 2
1 : 1 1C x y 外切，与圆 2 2
2 : 1 25C x y 内切，则动圆圆心
M 的轨迹方程是
A.
2 2
18 9
x y B.
2 2
19 8
x y C.
2
2 19
x y D.
2
2 19
yx
7.已知双曲线 )0,0(12
22
bab
y
a
x 的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离
心率 e 为
A． 2 B． 3 C．
5
3 D．
5
4
8.设 F1、F2 是椭圆
2 2
15 2
x y 的两个焦点，点 P 在椭圆上，当△F1PF2 的面积为 2 时，
1 2PF PF
=
A． 2 6
3
B．0 C．1 D． 3
3
9.设函数 f(x)＝|log2x|，则 f (x)在区间(m，2m＋1) (m>0)内不是单调函数的充要条件是
A. 0
1
10.设双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，离心率 e＝ 2，右焦点 F(c，0)．方程 ax2－bx－c＝0 的
两个实数根分别为 x1，x2，则点 P(x1，x2)与圆 x2＋y2＝8 的位置关系是
A．点 P 在圆外 B．点 P 在圆上
C．点 P 在圆内 D．不确定
11.已知 F1、F2 为双曲线：
2 2
116 20
x y 的左、右焦点，过 F2 的直线交双曲线于 A，B 两点，
则△F1AB 周长的最小值为
A．8 B．16 C．20 D．36
12．已知两定点 ( 2,0)A 和 (2,0)B ，动点 ( , )P x y 在直线 3: xyl 上移动，椭圆 c 以 ,A B 为
焦点且经过点 p ，则椭圆 c 的离心率的最大值为
A. 26
13
B. 2 26
13
C. 2 13
13
D. 4 13
13
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.命题“若 a2＋b2＝0(a，b∈R)，则 a＝b＝0”的逆否命题是__ ______.
14 .点 P(8，1)平分双曲线 x2－4y2＝4 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________.
15.下列命题中，正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）
①已知集合 1, , 1,2,3A a B ，则“ 3a ”是“ BA ”的必要不充分条件；
②如果命题“p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题；
③
∀
x∈R，cos 2x＋4sin x－3＜0；
④若逆命题是假命题则否命题一定是假命题.
16.已知 1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且
321
PFF ，
椭圆的离心率为 1e ，双曲线的离心率 2e ，则 2
2
2
1
31
ee
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10 分)已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1，F2 在 x 轴上，且过点 A(－4，3).
若 F1 A⊥F2 A，求椭圆的标准方程.
18. (本题满分 12 分)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 2MN MP , PM PF ，
当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.
19. (本题满分 12 分)已知命题 :p x m 是 2 5 0x 的必要而不充分条件；
命题 :q 实数 m 满足方程
2 2
11 2
x y
m m
表示双曲线.
若“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，求实数 m 的取值范围.
20. (本题满分 12 分)已知直线 y＝－1
2 x＋2 和椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
相交于 A，B 两点，
且 a＝2b，若|AB|＝2 5，求椭圆的方程.
21. (本题满分 12 分)已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
的一条渐近线方程为 x＋y＝0，且
顶点到渐近线的距离为 3 2
2
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，
若AP→＝PB→，求△AOB 的面积．
22. (本题满分 12 分)已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
，椭圆的短轴端点与双曲
线 2
2 12
y x 的焦点重合，过点 (4,0)P 且不垂直于 x 轴的直线l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求 OA OB 的取值范围.
[]
兰州一中 2017-2018-1 学期高二年级 12 月月考试试题
数 学 答 案
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4[] 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A C D B D B B C D B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 若 a≠0 或 b≠0 ，则 a2＋b2≠0 ; 14． 2x－y－15＝0 ;
15. ② ④ ; 16． 4 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 10 分)已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1，F2 在 x 轴上，且过点 A(－4，3).
若 F1 A⊥F2 A，求椭圆的标准方程.
解：设所求椭圆的标准方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0),焦点 F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A， ∴F1A→ ·F2A→ ＝0，
而F1A→ ＝(－4＋c，3)，F2A→ ＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即 c＝5.
∴F1(－5，0)，F2 (5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝ －4＋52＋32＋ －4－52＋32＝ 10＋ 90＝4 10.
即:a＝2 10， 15b
∴椭圆的标准方程为
2 2
140 15
x y
[]
[]
18. (本题满分 12 分)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 2MN MP , PM PF ，
当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.
解： 设 M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵PM→ ⊥PF→，PM→ ＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1, －y0)＝0，
∴x0＋y20＝0.
由MN→ ＝2 MP→ 得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴ x－x0＝－2x0，
y＝2y0，
即
x0＝－x，
y0＝1
2y，
∴－x＋y2
4
＝0，即 y2＝4x.
故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
19. (本题满分 12 分)已知命题 :p x m 是 2 5 0x 的必要而不充分条件；
命题 :q 实数 m 满足方程
2 2
11 2
x y
m m
表示双曲线.
若“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，求实数 m 的取值范围.
解：由 2 5 0x ，得 5
2x
命题 p 真时，则 5 , ,2 m
，得 5
2m ∴命题 p 假时， 5
2m ，
命题 q 真时，得 1 2 0m m ，解得 1m 或 2m ，命题 q 假时，1 2m
∵ p q 为假， p q 为真，∴ p q、 一真一假.
当 p 真 q 假时，则
5
2
1 2
m
m
，所以1 2m ；
当 p 假 q 真时，则
5
2
1 2
m
m m
或 ，所以 5
2m .
综上可知，实数 m 的取值范围为： 51, 2 ( , )2m .
20. (本题满分 12 分)已知直线 y＝－1
2 x＋2 和椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
相交于 A，B 两点，
且 a＝2b，若|AB|＝2 5，求椭圆的方程.
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
y＝－1
2x＋2，
x2
4b2
＋y2
b2
＝1
消去 y 并整理得 x2－4x＋8－2b2＝0.
则由根与系数的关系得 x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2 5，∴ 1＋1
4· (x1＋x2)2－4x1x2＝2 5，
即 5
2 · 16－4(8－2b2)＝2 5，解得 b2＝4，故 a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为x2
16
＋y2
4
＝1.
21. (本题满分 12 分)已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
的一条渐近线方程为 x＋y＝0，且
顶点到渐近线的距离为 3 2
2 .
(1)求此双曲线的方程；
(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，
若AP→＝PB→，求△AOB 的面积．
解: (1)依题意得: 3 2
22
a b
a
解得 3a b
故双曲线的方程为 2 2 9y x
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y＝±x，设 A(m，m)，B(－n，n)，其中 m＞0，n＞0，
由AP→＝PB→得点 P 的坐标为 ( , )2 2
m n m n .
将点 P 的坐标代入 2 2 9y x ，整理得 mn＝9.
0 2A B ，且 2OA m , 2OB n
∴S△AOB＝1
2|OA||OB|＝mn＝9.
22. (本题满分 12 分)已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
，椭圆的短轴端点与双曲
线 2
2 12
y x 的焦点重合，过点 (4,0)P 且不垂直于 x 轴的直线l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求 OA OB 的取值范围.
解：（1）由题意知
2 2 2
2
2 2
1 1,2 4
c c a be ea a a
， 2 24
3a b .
又∵双曲线的焦点坐标为 (0, 3), 3b ， 2 24, 3a b ，
椭圆的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）若直线l 的倾斜角为 0 ，则 ( 2,0), (2,0), 4A B OA OB ，
当直线l 的倾斜角不为 0 时，直线l 可设为 4x my ，
2 2
2 2
4
(3 4) 24 36 0
3 4 12
x my
m y my
x y
，由
2 2 20 (24 ) 4 (3 4) 36 0 4m m m
设 1 1 2 2( 4, ), ( 4, )A my y B my y ，
1 2 1 22 2
24 36,3 4 3 4
my y y ym m
，
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) 4 16OA OB my my y y m y y my y y y
2
116 43 4m
2 134, ( 4, )4m OA OB
，
综上所述：范围为 13[ 4, )4
