专题16 数列求和的方法规律-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

专题16 数列求和的方法规律-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

一．高考命题类型 ‎1.倒序求合法 ‎2.裂项求和法 ‎3.错位相减求和 ‎4.分组求和 ‎5.分奇偶数讨论求和 ‎6.利用数列周期性求和 ‎7.含有绝对值的数列求和 二．命题陷阱及命题陷阱破解措施 ‎1.倒序求和 例1. 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。等差数列中主要利用等差数列性质：若，则 ‎；函数中主要利用对称中心性质：若关于对称，则；组合中中主要利用组合数性质： ‎ 练习1.已知，数列满足，则__________．‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】因为的图象关于原点对称， 的图象由向上平移个单位，向右平移个单位， ‎ 故答案为.‎ 练习2.已知函数为奇函数， ，若，则数列的前项和为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数为奇函数图象关于原点对称，‎ ‎∴函数的图象关于点(,0)对称，‎ ‎∴函数的图象关于点(,1)对称，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴数列的前项之和为，‎ 故选：。‎ 练习3. 已知函数，则的值为 _____．‎ ‎【答案】‎ ‎2.裂项求和 例2. 数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ 选 练习1.数列的前项的和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 故数列的前10项的和为 ‎ 选。‎ 练习2.在等差数列中， ，则数列的前项和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 练习3. 已知数列与的前项和分别为， ，且， ， ，若恒成立，则的最小值是( )‎ ‎ 49 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时， ，解得或.‎ 由得.由，得.‎ 两式相减得.‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 要使恒成立，只需.‎ 故选.‎ 练习4.已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎.‎ 故选B.‎ 练习5.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 练习6.数列满足，且对于任意的都有，则等于（　　）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，则：‎ ‎，‎ 以上各式相加可得： ，则： ，‎ 练习7.设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则 ( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 则．‎ 故答案为：．‎ 练习8. 已知幂函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的图象过点，‎ 可得,解得，‎ ‎，‎ 则，‎ 则.‎ 故选：.‎ 练习9. 已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ 练习10.设数列的前项为，点， 均在函数的图象上.‎ ‎（1）求数列的通项公式。‎ ‎（2）设， 为数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）∵点在函数的图象上，‎ ‎ ∴‎ 当 ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 练习11.已知等差数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且，求的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为， ，所以，解得。‎ 练习12.已知等差数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且，求的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎3.错位相减求和 例3.已知数列的首项， ， …．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1） ， ， ‎ ‎ ，又， ，‎ ‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，即，‎ ‎ ．设…， ① ‎ ‎ 则…，② ‎ 由①②得，‎ ‎ ．又…． ‎ 数列的前项和 ．‎ 练习1.已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎（3）令 ‎ ‎ ‎①②，得 练习2.已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由（1）知所以 所以 两式相减，得 所以 练习3. 已知等差数列中， ，数列中， .‎ ‎（1）分别求数列的通项公式；‎ ‎（2）定义， 是的整数部分， 是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ 解析：（1）， ，∴是首项为 ，公比为的等比数列，∴，∴.‎ ‎（2）依题意，当时， ，∴，‎ 所以，‎ 令，‎ 两式相减，得 故.‎ ‎4.分组求和 例4. 已知数列满足， ， .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)结合递推关系可得是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有，分钟求和可得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 故 ‎.‎ 练习1.数列，……的前项和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分组求和：‎ ‎ 。‎ 本题选择选项.‎ 练习2.数列的前项和为=（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 故选 ．‎ 练习3. 已知数列{an}的通项公式是，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】=‎ ‎,选B.‎ ‎5.分奇偶数讨论求和 ‎【中】6.已知函数，且，则 ( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当为奇数时，为偶数，则，所以，‎ 当为偶数时，为奇数，则 ‎，‎ 所以.‎ 练习1. 已知在各项为正的数列中， ， ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以 ,即数列隔项成等比,所以 ‎ 练习2. 已知函数，且，则等于（ ）‎ A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019‎ ‎【答案】D ‎【解析】若 是奇数，则构成等差数列， 则公差 则奇数项的和 ‎ 若是偶数，则 则公差 则前1008个偶数项和 ‎ 则 ， 故选D．‎ 练习3. 已知数列的前项和为，且,（），若,‎ 则数列的前项和_______________.‎ ‎【答案】或 ‎ 当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，综上所述 ,故填或.‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误 练习4. 设数列满足：①；②所有项；③ ．‎ 设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说， 是 数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．‎ ‎（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；‎ ‎（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；‎ ‎（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．‎ ‎【答案】（1）1,4,7（2） 见解析（3）‎ 试题解析：（1）1,4,7． ‎ ‎（2）由，得 ‎ ‎∴ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ ‎∴ ‎ ‎（3）∵ ∴ ‎ 当时， ‎ ‎∴ ‎ 由得： ‎ ‎∵使得成立的的最大值为，‎ ‎∴ ‎ 当时： ‎ 当时： ‎ 当时： ‎ ‎∴‎ 练习5. 已知数列满足： ， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，记.求.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ ‎ 是公差为的等差数列 ‎ ‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知 ‎ ‎，‎ ‎. ‎ ‎6.利用数列周期性求和 例1.数列的通项，其前项和为，则为 ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎7.含有绝对值的数列求和 例1.已知数列中，，且满足 ‎（1）求的通项公式 ‎（2）设，求.‎ ‎【答案】(1) 最大为. (2) ‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴数列是等差数列 ‎ 由知 ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）可得数列的前项和为。‎ 当时， ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 当时， ‎ ‎。‎ 综上。‎ 三．真题演练 ‎1.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2‎ ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.‎ ‎【答案】(I)（II）‎ ‎（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,‎ 由(I)得 记梯形的面积为.‎ 由题意，‎ 所以 ‎……+‎ ‎=……+ ①‎ 又……+ ②‎ ①-②得 ‎= ‎ 所以 ‎【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎2.【2017北京，理20】设和是两个等差数列，记，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减. 所以，即证明；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 所以关于单调递减.‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 ‎.‎ 所以 ‎ ‎①当时，取正整数，则当时，，因此.‎ 此时，是等差数列.‎ ‎②当时，对任意，‎ 此时，是等差数列.‎ ‎【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.‎ ‎【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.‎ ‎3.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】 （1）..（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎【考点】等差数列、等比数列、数列求和 ‎【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.‎ ‎4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．‎ 证明：当时，‎ ‎（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；‎ ‎（Ⅱ）2xn+1− xn≤；‎ ‎（Ⅲ）≤xn≤．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：‎ 当n=1时，x1=1>0‎ 假设n=k时，xk>0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故． ‎ 因此，所以，因此 ‎（Ⅱ）由得 记函数 函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，‎ 因此， （Ⅲ）因为，所以得，‎ ‎，，‎ 故，‎ ‎【考点】不等式证明 ‎【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．‎ ‎5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 ‎ 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.‎ ‎ （1）证明：等差数列是“数列”;‎ ‎ （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时，，①‎ 当时，.②‎ 由①知，，③‎ ‎，④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为.‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列.‎ ‎【考点】等差数列定义及通项公式 ‎【名师点睛】证明为等差数列的方法：‎ ‎(1)用定义证明：为常数）；‎ ‎(2)用等差中项证明：；‎ ‎(3)通项法： 为的一次函数；‎ ‎(4)前项和法： ‎ ‎6. 【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差，从而求得通项，再根据已知条件表示不超过的最大整数，求；（Ⅱ）对分类讨论，再用分段函数表示，再求数列的前1 000项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.‎ 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。‎ ‎【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn ,对于数列{an}给出这样一个新的定义，首先要理解定义，题目的第一步，前一项的最大值为2，第一项后面的项的最小值为1，即，则，同理求出，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难.‎