2018-2019学年吉林省延边二中高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年吉林省延边二中高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版）

延边第二中学2018-2019学年度第二学期开学考试 高二年级数学（理科）试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ ‎1．抛物线y＝x2的准线方程是（ ）‎ ‎ A．y＝1 B．y＝－1 C．x＝－1 D．x＝1‎ ‎2．已知数列的前项和为，满足，则的通项公式（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）‎ A． 10 B． 8 C． 6 D． 4‎ ‎4.下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．若，则 ‎ ‎ B．“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎ C．已知是的两个内角，则“”是“”的充要条件 ‎ D．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件 ‎ ‎5．命题“对”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.正项等差数列的前项和为，已知，则 (　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知点，F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，当 最小时，M点坐标是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． (-4,2) D． (-2,4)‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.如图，为双曲线（）的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.对于数列,定义为的 “优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎13. 与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是______．‎ ‎14. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．‎ ‎15.已知抛物线，过焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若，则 . ‎ ‎16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则当取得最大值时，角A的值为______________‎ 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，22题附加题20分）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知,,分别为三个内角,,的对边, =sincos．‎ ‎(1)求角; ‎ ‎(2)若=,的面积为,求的周长．‎ ‎18．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)．‎ ‎(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 在数列{an}中，a1＝，并且对于任意n∈N*，且n>1，都有an·an－1＝an－1－an成立，‎ 令bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn，并证明Tn<－.‎ ‎20. （本题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱与底面垂直， AA1=AB=AC=1，‎ 且AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ B A M P N B1‎ C C1‎ A1‎ ‎（Ⅱ）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为 时，试求直线PM与平面ABC所成角的正弦值大小。‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的右焦点为F(2,0)，过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为（1，) ．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为1，试判断直线 l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.‎ ‎22．（本题满分20分）已知动圆与圆： 相切，且与圆： 相内切，记圆心的轨迹为曲线.设为曲线上的一个不在轴上的动点， 为坐标原点，过点作的平行线交曲线于, 两个不同的点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）记的面积为， 的面积为，令，求的最大值.‎ 答案 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ BBBCC 　 DACCA 　 DB 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎ 13. 14． 15． 2或18 16.‎ 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，22题附加题20分）‎ ‎17．(1) ；(2) ‎ 解(1)由=sincos及正弦定理得 。sinsin+cossin-sin=0,‎ 由,所以 ‎ 又0<<π, + ‎ ‎ 故= ……（5分） ‎ ‎(2)△ABC的面积,故． ‎ 由余弦定理知2=2+2-2cos,得 代入=,=4解得,故三角形周长为．……（10分）‎ ‎18..解：(1)当m＝1时，f(x)≥6等价于 或或 解得x≤－2或x≥4，‎ 所以不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－2或x≥4}．……………….5分 ‎(2)∵|x－3|＋|x＋m|≥|(x－3)－(x＋m)|＝|m＋3|，‎ ‎∴f(x)min＝|3＋m|，∴|m＋3|≤5，‎ 解得－8≤m≤2，‎ ‎∴实数m的取值范围为[－8,2]．……………….10分 ‎19解析：(1)当n＝1时，b1＝＝3，‎ 当n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝1，‎ ‎∴数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为bn＝n＋2. …….5分 ‎(2)∵＝＝＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋＋ ‎＝ ‎＝＝， …….10分 ‎∵>＝，‎ ‎∴－<－，∴Tn<－. …….12分 ‎20.解：以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则,‎ M是CC1的中点，N是BC的中点 ‎=(0,1,),=,-1), …….4分 设平面PMN的一个法向量为，则 …….6分 又平面ABC的一个法向量为，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为 解得，…….8分 此时 所以直线PM与平面ABC所成角的正弦值为。…….12分 ‎21解：（1）设，则，两式相减得 ‎，…………2分 MN的中点坐标为（1，) ，且M、N、F、Q共线 ‎，…………4分 椭圆C的方程为…………5分 （2） 设直线AB:，联立方程得：‎ 设则 …………7分 ‎，…………9分 直线AB：，所以直线AB过定点……10分 又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则 适合上式，所以直线AB过定点……12分 ‎22试题解析：解：（1）设圆心的坐标为，半径为，‎ 由于动圆一圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切 ‎∴‎ ‎∴圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，‎ ‎∴‎ 故圆心的轨迹．…….4分 ‎（2）设，直线，则直线，‎ 由可得： ，∴，‎ ‎∴…….7分 由可得： ，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎．…….10分 ‎∴‎ ‎∴和的比值为一个常数，这个常数为．…….12分 ‎（3）∵，∴的面积的面积，∴，‎ ‎∵到直线的距离，‎ ‎∴．1‎ 令，则， ，‎ ‎∵（当且仅当，即，亦即时取等号）‎ ‎∴当时， 取最大值．1…….20分