专题21 平面向量的应用-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题21 平面向量的应用-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题21 平面向量的应用 ‎【高频考点解读】‎ ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 平面向量在平面几何中的应用 例1、(1)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A.　　　 B．2 C．5 D．10‎ ‎(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为__________。‎ 所以||－||2＝0，解得||＝。‎ 方法二：如图，以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，D(1,0)，设AB的长为a，则B，C，因为E是CD的中点，‎ 所以E，所以＝，＝，·＝－a2＝1，即‎2a2－a＝0，‎ 解得a＝或a＝0(舍去)。‎ 故AB的长为。‎ 答案 (1)C (2) ‎【提分秘籍】‎ 向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)‎ A. B. C. D. 热点题型二 平面向量在三角函数中的应用 例2、已知向量a＝，b＝，且x∈。‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值。‎ 解析：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x。‎ ‎|a＋b|＝＝＝2＝2|cosx|。‎ ‎∵x∈，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx。‎ ‎(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2。‎ ‎∵x∈，∴0≤cosx≤1。‎ ‎①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾。‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，即－1－2λ2＝－，解得λ＝。‎ ‎③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾。‎ 综上所述，λ＝即为所求。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 利用向量求解三角函数问题的一般思路 ‎(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式。利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解。‎ ‎(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。‎ ‎(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知向量a＝(cosx，sinx)，|b|＝1，且a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)。‎ ‎(1)试用k表示a·b，并求a·b的最小值；‎ ‎(2)若0≤x≤π，b＝，求a·b的最大值及相应的x值。‎ 热点题型三 平面向量在解析几何中的应用 例3．(1)已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且||·||＋·＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离d的最小值为(　　)‎ A．2　　　B．3‎ C．4 D．6‎ ‎(2)已知椭圆方程为＋＝1，点A(1,1)，M为椭圆上任意一点，动点N满足＝2，则N点的轨迹方程为________。‎ 答案：(1)B (2) ＋＝1‎ ‎【提分秘籍】‎ 向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝8x　　　　B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：设P(x，y)，因为M(－2,0)，N(2,0)，‎ 所以||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，‎ 由||·|MP＋·＝0，‎ 则4＋(4,0)·(x－2，y)＝0，‎ 化简整理得y2＝－8x。所以选B。‎ 答案：B ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】由a||b可得 ‎ ‎2.【2017北京，文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】6‎ ‎3.【2017课标3，文13】已知向量，且，则m= .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得：.‎ ‎4.【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎1.【2016高考天津文数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，∴，，‎ ‎，∴，故选B.‎ ‎2.【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m，4)，b=(3，-2)，且a∥b，则m=___________. ‎ ‎【答案】－6‎ ‎【解析】因为a∥b，所以，解得．‎ ‎3.【2016高考新课标1文数】设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= .‎ ‎【答案】‎ ‎4【2016高考浙江文数】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，不妨取，，设，则，取等号时与同号．所以 ‎（其中，取为锐角）．显然，易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到，故所求最大值为 ‎5.【2016高考山东文数】已知向量若，则实数t的值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，解得 ‎ ‎1.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，‎ ‎，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．‎ ‎2.【2015高考重庆，文7】已知非零向量满足则的夹角为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎3.【2015高考福建，文7】设，，．若，则实数的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．‎ ‎4.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】在等腰梯形ABCD中,由,得,, ,所以 ‎ ‎ ‎5.【2015高考浙江，文13】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎1．（2014·北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．‎ ‎【答案】　【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，‎ ‎∴|λ|＝＝＝.‎ ‎2．（2014·湖北卷）设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．‎ ‎【答案】±3　【解析】因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.‎ ‎3．（2014·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．‎ ‎【答案】　【解析】cos β＝＝＝‎ ＝‎ ＝＝.‎ ‎4．（2014·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C．1 D. ‎【答案】B　【解析】因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因为(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝＝. ‎ ‎5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．5‎ ‎【答案】A　【解析】由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得‎4a·b＝4，所以a·b＝1.‎ ‎6．（2014·山东卷）在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．‎ ‎7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C　【解析】建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由BE＝λBC得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得即点E(λ，(λ－1))．由＝μ得(x2，y2－)＝μ(1，－)，解得即点F(μ，(1－μ))．又∵AE·AF＝(λ＋1，(λ－1))·(μ＋1，(1－μ))＝1，①‎ ·＝(λ－1, (λ－1))·(μ－1, (1－μ))＝－.②‎ ‎①－②得λ＋μ＝.‎ ‎8．(2013年高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ 解析：＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝‎ ，故选A.‎ 答案：A ‎9．(2013年高考湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)‎ A．[－1，＋1] B. C．[1，＋1] D．[1，＋2]‎ ‎10．(2013年高考辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求 x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ 解析：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈，从而sin x＝，‎ 所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，‎ 当x＝∈[0，]时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)‎ A．2　　　B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：由题意可知，‎ ·＝·＝·＋·＝0＋×3×3cos45°＝3。‎ 答案：B ‎2．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于(　　)‎ A．3 B．－3‎ C. D．－ 解析：由a∥b得cosα＝－2sinα，所以tanα＝－。‎ 所以2sinαcosα＝＝＝－。‎ 答案：D ‎3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D. ‎4．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝。‎ 答案：B ‎5．函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．1 D．2‎ 解析：由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6。‎ 答案：B ‎6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若‎4a＋2b＋‎3c＝0，则cosB＝(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 解析：由‎4a＋2b＋‎3c＝0，得 ‎4a＋‎3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，所以‎4a＝‎3c＝2b。由余弦定理得cosB＝＝＝－。‎ 答案：A ‎7．若向量a＝，b＝，且a∥b，则锐角α的大小是________。‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝__________。‎ 解析：依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，‎ 于是有cosA＝，sinA＝＝，‎ 又S△ABC＝·bcsinA＝bc× ＝，‎ 所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1。‎ 答案：－1‎ ‎9．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l ，垂足为Q，且·＝0，则点P到点C的距离的最大值是__________。‎ 化简得＋＝1，所以点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a＝4，b＝2，c＝2，点C是其右焦点。‎ 故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6。‎ 答案：6‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，且m⊥n。‎ ‎(1)求角C的大小。‎ ‎(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围。‎ 解析：(1)由题意得m·n＝(a＋c，b－a)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2－ab＝0，即c2＝a2＋b2－ab。由余弦定理得cosC＝＝。因为0＜C＜π，所以C＝。‎ ‎(2)因为s＋t＝＝ (cosA，cosB)，‎ 所以|s＋t|2＝cos‎2A＋cos2B ‎＝cos‎2A＋cos2 ‎＝－sin＋1。‎ 因为0＜A＜，所以－＜‎2A－＜，‎ 所以－＜sin≤1。‎ 所以≤|s＋t|2＜，故≤|s＋t|＜。‎