高考数学复习 17-18版 第5章 第24课 二倍角的三角函数

高考数学复习 17-18版 第5章 第24课 二倍角的三角函数

第24课 二倍角的三角函数 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 二倍角的正弦、余弦及正切 ‎√‎ ‎1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎2．二倍角公式的变形及逆用 ‎(1)公式C2α的变形：‎ ‎①sin2α＝(1－cos 2α)；‎ ‎②cos2α＝(1＋cos 2α)．‎ ‎(2)公式的逆用：‎ ‎①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；‎ ‎②sin α±cos α＝sin.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对∀α∈R，sin 2α＝2sin α均不成立．(　　)‎ ‎(2)sin2－cos2＝cos ＝.(　　)‎ ‎(3)sin α＋cos α＝.(　　)‎ ‎(4)等式1＋cos α＝2sin2对∀α∈R均成立．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．下列各式中值为的是________．(填序号)‎ ‎①2sin 15°cos 15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1；④sin215°＋cos215°.‎ ‎②　[2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，2sin215°－1＝－cos 30°＝－，‎ sin215°＋cos215°＝1.]‎ ‎3．若sin α＝，α∈，则tan 2α＝________.‎ ‎－　[∵α∈，sin α＝，‎ ‎∴cos α＝＝，‎ ‎∴tan α＝2，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝－.]‎ ‎4．(2017·南京模拟)若tan α＝，则＝________.‎ 　[＝＝tan α＝.]‎ ‎5．(教材改编)函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________．‎ ‎－2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]‎ 应用倍角公式求值 ‎　(2017·无锡模拟)已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ ‎[解]　(1)cos·cos ‎＝cos·sin ‎＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ ‎∵α∈，‎ ‎∴2α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin ‎＝sincos－cos·sin ＝.‎ ‎(2)∵α∈，∴2α∈.‎ 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.‎ ‎∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.‎ ‎[规律方法]　给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中＋＝，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．‎ ‎[变式训练1]　(2017·南京、盐城二模)已知α为锐角，cos＝.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求sin的值. 【导学号：62172133】‎ ‎[解]　(1)因为α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin＝＝，‎ 所以tan＝＝2.‎ ‎(2)因为sin＝sin＝2sincos＝，‎ cos＝cos＝2cos2－1＝－，‎ 所以sin＝sin＝sincos－cossin ＝.‎ 应用倍角公式化简 ‎　(1)化简：＝________.‎ ‎(2)化简：.‎ ‎(1)2cos α　[原式＝＝2cos α.]‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎[规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ ‎[变式训练2]　化简sin2＋sin2－sin2α＝________.‎ 　[法一：原式＝＋－sin2α ‎＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝.‎ 法二：令α＝0，则原式＝＋＝.]‎ 三角变换的简单应用 ‎　已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】‎ ‎[解]　(1)由已知，有 f(x)＝－ ‎＝－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ 且f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎[规律方法]　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎[变式训练3]　已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ‎＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π，‎ 从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．‎ ‎2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．‎ ‎3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．利用辅助角公式asin x＋bcos x转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．‎ ‎2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．‎ 课时分层训练(二十四)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．已知sin 2α＝，则cos2等于________．‎ 　[因为cos2＝ ‎＝＝＝＝.]‎ ‎2．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________. ‎ ‎【导学号：62172135】‎ 　[∵sin 2α＝2sinαcos α＝－sin α，‎ ‎∴cos α＝－，‎ 又α∈，‎ ‎∴sin α＝，tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－，则cos 2θ＝________.‎ 　[∵cos 2θ＝＝.‎ 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]‎ ‎4．已知sin α＝，α∈，则＝________.‎ ‎－　[ ‎＝ ‎＝cos α－sin α.‎ ‎∵sin α＝，α∈，‎ ‎∴cos α＝－.‎ ‎∴原式＝－.]‎ ‎5．(2017·苏州模拟)已知sin(α－45°)＝－且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】‎ 　[∵sin(α－45°)＝－，‎ ‎∴sin α－cos α＝－，‎ ‎∴2sin αcos α＝，‎ ‎∴sin α＋cos α＝＝，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝.‎ ‎∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝.]‎ ‎6．(2016·山东高考改编)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x ‎)的最小正周期是________．‎ π　[法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝4 ‎＝4sincos ＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.]‎ ‎7．(2017·苏州模拟)若sin＝，则cos＝________. ‎ ‎【导学号：62172137】‎ ‎－　[cos＝cos ‎＝－cos＝－ ‎＝－＝－.]‎ ‎8．化简＋2＝________.‎ ‎－2sin 4　[＋2 ‎＝＋2 ‎＝＋2 ‎＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]‎ ‎9．(2017·南通模拟)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．‎ ‎－　[∵3cos 2α＝sin，‎ ‎∴3sin＝sin，‎ ‎∴3×2sincos＝sin.‎ ‎∴sin≠0，∴cos＝，‎ 即sin α＋cos α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－＝－.]‎ ‎10．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，‎ 则cos＝______________.‎ 　[∵cos4α－sin4α＝cos2α－sin2α＝cos 2α＝，‎ 又α∈，∴2α∈(0，π)．‎ ‎∴sin 2α＝.‎ ‎∴cos＝cos 2αcos－sin 2αsin ‎＝cos 2α－sin 2α ‎＝×－× ‎＝.]‎ 二、解答题 ‎11．(2017·盐城期中)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)＝－1，求cos的值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin 2x－＝sin 2x－－＝sin－，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)＝－1，所以sin－＝－1，即sin＝－，‎ 所以cos＝cos＝sin＝－.‎ ‎12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈，求f.‎ ‎[解]　(1)f＝cos2＋sincos ‎＝2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin.‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin＝＋.‎ 又因为sin α＝，且α∈，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f＝＋ ‎＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于________．‎ 　[由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤＋2＝.]‎ ‎2．如图241，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sincos－的值为________．‎ 图241‎ 　[由题意得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，∴sin∠AOB＝sin＝，‎ ‎∴cos2－sin·cos－＝·－－＝－sin α＋cos α＝sin＝sin＝sin＝.]‎ ‎3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．‎ ‎[解]　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝ ‎＝＝＞0，‎ ‎∴0＜α＜.‎ 又∵tan 2α＝＝＝＞0，‎ ‎∴0＜2α＜，‎ ‎∴tan(2α－β)＝ ‎＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－＜0，‎ ‎∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝2sin xsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)当x∈时，2x－∈，‎ sin∈，‎ f(x)∈.‎ 故f(x)的值域为.‎