数学卷·2018届上海市金山中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学卷·2018届上海市金山中学高二下学期期中考试（2017-04）

金山中学2016学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：周欢 审核人：龚伟杰）‎ 一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）‎ ‎1、在空间中，若直线与无公共点，则直线、的位置关系是 ▲ 。‎ ‎2、直线与的夹角的大小为 ▲ 。 (结果用反三角函数表示)‎ ‎3、已知m为实数，i为虚数单位，若，则= ▲ 。‎ ‎4、复数满足（为虚数单位），则的最大值为 ▲ 。‎ ‎5、在正四棱锥中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为 ▲ 。(结果用反三角函数表示)‎ ‎6、已知抛物线：，直线：，则直线被抛物线截得的弦长为 ▲ 。‎ ‎7、已知复数满足（其中为虚数单位），则对应点位于第三象限的的值为 ▲ 。‎ ‎8、在水平放置的平面上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为 ▲ 。‎ ‎9、如图，已知圆锥的底面半径为，点为半圆弧的中点，点为母线的中点．若与所成角为，则此圆锥的侧面积为 ▲ 。‎ ‎10、过定点的直线与双曲线的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ▲ 。‎ ‎11、在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，写出所有正确结论的代号 ▲ 。‎ ‎①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值；②DC1⊥D1M；③∠AMD1的最大值为90°；④AM+MD1的最小值为2。‎ ‎‎ ‎12、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽丈，长丈，上棱丈，平面，与平面的距离为丈，则它的体积是 ▲ （立方丈）。‎ 二.选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是 ▲ 。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎14、经过一定圆外一定点，并且与该圆相切的动圆圆心的轨迹是 ▲ 。‎ ‎（A）圆 （B）椭圆 （C）直线 （D）双曲线 ‎15、在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是 ▲ 。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎16、已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹类型是 ▲ 。‎ ‎（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线 三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分）‎ ‎17、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 在中，已知、，且边的中点在轴上，边的中点在轴上，求：（1）顶点的坐标；（2）求以点为圆心并且与直线相切的圆的方程。‎ ‎18、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点；‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为正三角形，且，为上的一点，，求直线 与直线所成角的正切值。‎ ‎‎ ‎19、（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，为的中点， 与底面所成的角为；‎ ‎（1）求直线平面所成角的大小；（2）求到平面的距离；‎ ‎20、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ 已知椭圆：，，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）若，写出与的关系式；（3）在第（2）问的条件下求的取值范围。‎ ‎‎ ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） ‎ 如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点；‎ ‎（1）若，求曲线的方程；‎ ‎（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点 M必在曲线的另一条渐近线上；‎ ‎（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C、D，求面积的最大值。‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 金山中学2016学年度第二学期高二年级数学学科期中考试参考答案 ‎1‎ 平行或异面 ‎2‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎4【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎（也可写成）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎①②‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎13‎ A ‎14‎ D ‎15‎ B ‎16‎ C ‎17、（1）分析：待定系数法，设，易得 ‎ （2）分析：直线AB的方程为，半径为，‎ 圆的方程为 ‎18、（1）分析：取线段AC的中点F，连接DF，容易得到DF//AE且相等，所以得到平行四边形，所以ED//AF，所以线面平行；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2）分析：就是异面直线与直线所成角或其补角 假设，在中，，‎ ‎ ‎ ‎19、分析：需说明线面垂直，‎ ‎（2）分析：（1）分析：等体积法，高为；‎ ‎20、解：(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，‎ 由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.‎ ‎∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，‎ ‎∴4＝2a＝4，‎ ‎∴a＝2，b＝1.‎ ‎∴椭圆E的方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，‎ 由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.‎ 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，‎ 即k2－m2＋4>0，‎ 且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由得x1＝－3x2.带入消元，再消元 ‎∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.‎ ‎（3）当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，‎ ‎∴k2＝.‎ ‎∵k2－m2＋4>0，‎ ‎∴－m2＋4>0，即>0.‎ ‎∴1

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