020年湖北省高三（４月）线上调研考试文数

020年湖北省高三（４月）线上调研考试文数

书书书 ２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试 文 科 数 学 试 卷 ２０２０．４ 本试卷共 ５页，２３题（含选考题）。全卷满分 １５０分。考试用时 １２０分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： １．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。请家 长做好监考工作。 ２．请确保网络环境、考试环境良好，备好答题所用的白纸和笔。 ３．登录好分数 ＡＰＰ，点击“作业测试”，进入对应考试科目。“试卷”将根据考试时间准时显示。开考 后，考生首先在白纸上手写答题。答题结束后，点击“填写答题卡”，进入到“在线答题卡”。将事先准备好 的答案，填写至在线答题卡上（选择题、多选题及判断题，直接在“在线答题卡”上勾选答案；主观题按照要 求将手写的答案竖向拍照，并分别上传），然后点击“提交答题卡”完成提交。答题卡上传提交后考试时间 范围内还能继续提交覆盖，为了避免大家都在考试最后快结束的时间上传造成拥堵，建议提前上传。 备注：主观题要确保答案及照片清晰、干净、完整；为留取拍照时间，考试将延长 １０分钟。 ４．此次全省联考是检测复课前线上备考成效的一次重要考试，有利于调整和优 化复课后备考策略，请考生和家长高度重视。考试结束后，考试组织方将为所有考生 免费提供《考试成绩和学情分析报告》。请考生或家长及时扫描右方二维码，关注“育 路通”微信公众号。依次点击“高考测评—查看报告”，即可免费查询。 一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． １．已知集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－４ｘ－５＜０｝，集合 Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＞０｝，则 Ａ∩Ｂ＝ Ａ．｛ｘ｜０＜ｘ＜５｝ Ｂ．｛ｘ｜－５＜ｘ＜０｝ Ｃ．（－１，＋∞） Ｄ．｛ｘ｜－１＜ｘ≤１０｝ ２．已知ａ－３ｉ ｉ ＝ｂ＋３ｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），其中 ｉ为虚数单位，则复数 ｚ＝ａ－ｂｉ在复平面内对应的点在 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．已知 ｘ＝２０．１，ｙ＝ｌｏｇ５２，ｚ＝ｌｏｇ０．５２，则 Ａ．ｙ＜ｘ＜ｚ Ｂ．ｙ＜ｚ＜ｘ Ｃ．ｚ＜ｘ＜ｙ Ｄ．ｚ＜ｙ＜ｘ ４．已知平面向量 ｍ，ｎ均为单位向量，若向量 ｍ，ｎ的夹角为 π ３，则｜３ｍ＋４ｎ｜＝ 槡Ａ．３７ Ｂ．２５ Ｃ． ３７ Ｄ．５ ５．若不等式 １ ｘ＋ １ １－４ｘ≥ｍ对 ｘ∈（０，１ ４）恒成立，则实数 ｍ的最大值为 Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ ２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试文科数学试卷　第 １页（共 ５页） ６．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居 民给活动打分（分数为整数，满分 １００分），从中随机抽取一个容量为 １２０的样本，发现所 给数据均在［４０，１００］内．现将这些分数分成以下 ６组并画出样本的频率分布直方图，但 不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误 獉獉 的是 Ａ．第三组的频数为 １８人 Ｂ．根据频率分布直方图估计众数为 ７５分 Ｃ．根据频率分布直方图估计样本的平均数为 ７５分 Ｄ．根据频率分布直方图估计样本的中位数为 ７５分 ７．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函 数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数 ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＋１，ｘ∈［－π ２，π ２］的图象 大致为 ８．函数 ｆ（ｘ） 槡＝ ３ｃｏｓ（２ｘ－π ２）＋ｃｏｓ（π＋２ｘ）的单调增区间为 Ａ．［－π ６＋ｋπ，π ３＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ Ｂ．［－π ３＋ｋπ，π ６＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ Ｃ．［－５π １２＋ｋπ，π １２＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ Ｄ．［－π １２＋ｋπ，５π １２＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ ９．已知 Ｆ是抛物线 ｙ２＝４ｘ的焦点，过焦点 Ｆ的直线 ｌ交抛物线的准线于点 Ｐ，点 Ａ在抛物 线上，且｜ＡＰ｜＝｜ＡＦ｜＝３，则直线 ｌ的斜率为 槡 槡 槡Ａ．±１ Ｂ．２ Ｃ．± ２ Ｄ．２ １０．已知函数 ｆ（ｘ）＝ －ｘ２＋ａｘ，ｘ≤１ ３ａｘ－７，ｘ{ ＞１ ，若存在 ｘ１，ｘ２∈Ｒ，且 ｘ１≠ｘ２，使得 ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）成立， 则实数 ａ的取值范围是 Ａ．（－∞，３） Ｂ．（－∞，３］ Ｃ．（－２，２） Ｄ．（－２，２］ １１．平面四边 ＡＢＣＤ形中，∠ＡＢＣ＝１５０°，槡３ＡＢ＝２ＢＣ，ＡＣ 槡＝ １３，ＢＤ⊥ＡＢ，ＣＤ＝３，则四边形 ＡＢＣＤ的面积为 槡 槡 槡Ａ．２ ３＋２ Ｂ．３＋１ Ｃ．７ ３ Ｄ． 槡７ ３ ２ ２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试文科数学试卷　第 ２页（共 ５页） １２．已知双曲线 Ｃ：ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，过 Ｆ１的直线与 Ｃ的两 条渐近线分别交于 Ａ，Ｂ两点，若以 Ｆ１Ｆ２为直径的圆过点 Ｂ，且 Ａ为 Ｆ１Ｂ的中点，则双曲 线 Ｃ的离心率为 槡 槡 槡Ａ．３＋１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．２ 二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分． １３．设曲线 ｙ＝ｅｘ＋１上点 Ｐ处的切线平行于直线 ｘ－ｙ－１＝０，则点 Ｐ的坐标是 ． １４．已知 θ为锐角，且槡２ｓｉｎθｓｉｎ（θ＋π ４）＝５ｃｏｓ２θ，则 ｔａｎθ＝ ． １５．已知 Ａ，Ｂ，Ｃ是球 Ｏ球面上的三点，ＡＣ＝ＢＣ＝６，ＡＢ 槡＝６ ２，且四面体 ＯＡＢＣ的体积为 ２４，则球 Ｏ的表面积为 ． １６．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮 乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有 ８辆载重 为 ６ｔ的 Ａ型卡车，６辆载重为 １０ｔ的 Ｂ型卡车，１０名驾驶员，要求此运输队每天至少运 送 ２４０ｔ物资．已知每辆卡车每天往返的次数为 Ａ型卡车 ５次，Ｂ型卡车 ４次，每辆卡车 每天往返的成本 Ａ型卡车 １２００元，Ｂ型卡车 １８００元，则每天派出运输队所花的成本最 低为 ． 三、解答题：共 ７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 １７题 ～第 ２１题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 ２２题 ～第 ２３题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 ６０分． １７．（本小题满分 １２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３（ａｘ＋ｂ）的图像经过点 Ａ（２，１）和 Ｂ（５，２），ａｎ＝ａｎ＋ｂ（ｎ∈Ｎ ） （１）求｛ａｎ｝； （２）设数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ，ｂｎ＝ ２ ｎ（ｎ＋２）＋２ Ｓ槡 ｎ，求｛ｂｎ｝的前 ｎ项和 Ｔｎ． ２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试文科数学试卷　第 ３页（共 ５页） １８．（本小题满分 １２分） ２０２０年春节期间，新型冠状病毒（２０１９－ｎＣｏＶ）疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻 全国人民众志成城，共克时艰，为疫区助力．我国 Ｓ省 Ｑ市共 １００家商家及个人为缓解湖北 省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省 Ｈ市． （１）现对 １００家商家抽取 ５家，其中 ２家来自 Ａ地，３家来自 Ｂ地，从选中的这 ５家中， 选出 ３家进行调研，求选出 ３家中 １家来自 Ａ地，２家来自 Ｂ地的概率． （２）该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为 ４９千 元的月产增量．现用以往的先进技术投入 ｘｉ（千元）与月产增量 ｙｉ（千件）（ｉ＝１，２，３，…，８） 的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 ｙ＝ａ＋ 槡ｂ ｘ的附 近，且 珋ｘ ＝ ４６．６，珋ｙ ＝ ５６３，珋ｔ＝ ６．８，∑ ８ ｉ＝１ （ｘｉ － 珋ｘ）２ ＝ ２８９．９，∑ ８ ｉ＝１ （ｔｉ －珋ｔ）２ ＝ １．６， ∑ ８ ｉ＝１ （ｘｉ－珋ｘ）（ｙｉ－珋ｙ）＝１４６９，∑ ８ ｉ＝１ （ｔｉ－珋ｔ）（ｙｉ－珋ｙ）＝１０８．８，其中 ｔｉ ＝ ｘ槡ｉ，珋ｔ＝１ ８∑ ８ ｉ＝１ ｔｉ，根据 所给的统计量，求 ｙ关于 ｘ回归方程，并预测先进生产技术投入为 ４９千元时的月产增量． 附：对于一组数据（ｕ１，ｖ１）（ｕ２，ｖ２），其回归直线 ｖ＝α＋βｕ的斜率和截距的最小二乘法 估计分别为 ＾β＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｕｉ－珔ｕ）（ｖｉ－珋ｖ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｕｉ－珔ｕ）２ ，＾α＝珋ｖ－＾β珔ｕ． １９．（本小题满分 １２分） 如图，在四棱锥 Ｓ－ＡＢＣＤ中，侧面 ＳＣＤ为钝角三角形且垂直于底面 ＡＢＣＤ，ＣＤ＝ＳＤ，点 Ｍ是 ＳＡ的中点，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ＝１ ２ＢＣ＝ａ． （１）求证：平面 ＭＢＤ⊥平面 ＳＣＤ； （２）若∠ＳＤＣ＝１２０°，求三棱锥 Ｃ－ＭＢＤ的体积． ２０．（本小题满分 １２分） 已知椭圆 Ｃ：ｘ２ ａ２ ＋ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）过点 Ｅ（槡２，１），其左、右顶点分别为 Ａ，Ｂ，左、右焦点 为 Ｆ１，Ｆ２，其中 Ｆ１（ 槡－ ２，０）． （１）求椭圆 Ｃ的方程； （２）设 Ｍ（ｘ０，ｙ０）为椭圆 Ｃ上异于 Ａ，Ｂ两点的任意一点，ＭＮ⊥ ＡＢ于点 Ｎ，直线 ｌ：ｘ０ｘ＋２ｙ０ｙ－４＝０，设过点 Ａ且与 ｘ轴垂直的直线与直线 ｌ交于点 Ｐ，证明：直线 ＢＰ经过线 段 ＭＮ的中点． ２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试文科数学试卷　第 ４页（共 ５页） ２１．（本小题满分 １２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａｃｏｓｘ （１）求函数 ｆ（ｘ）的奇偶性，并证明当｜ａ｜≤２时函数 ｆ（ｘ）只有一个极值点； （２）当 ａ＝π时，求 ｆ（ｘ）的最小值； （二）选考题：共 １０分．请考生在 ２２，２３题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时写清题号． ２２．［选修 ４－４：坐标系与参数方程］（１０分） 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 Ｃ１ 的参数方程为 ｘ＝２＋２ｃｏｓθ ｙ＝２ｓｉｎ{ θ （θ为参数），以原点为 极点，ｘ轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 Ｃ２的极坐标方程为 ρ２＝ ４ １＋３ｓｉｎ２α． （１）求曲线 Ｃ１的极坐标方程以及曲线 Ｃ２的直角坐标方程； （２）若直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ与曲线 Ｃ１、曲线 Ｃ２在第一象限交于 Ｐ，Ｑ，且 ｜ＯＱ｜＝｜ＰＱ｜，点 Ｍ的 直角坐标为（１，０），求△ＰＭＱ的面积． ２３．［选修 ４－５：不等式选讲］（１０分） 已知实数 ａ，ｂ满足 ａ２＋ｂ２－ａｂ＝３． （１）求 ａ－ｂ的取值范围； （２）若 ａｂ＞０，求证：１ ａ２ ＋１ ｂ２ ＋３ ４≥ ４ ａｂ． ２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试文科数学试卷　第 ５页（共 ５页） 1 22020 年湖北省高三（4 月）线上调研考试 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题 1--12 ABDCC CBACA DB 二、填空题 13.（0,2） 14. 6 5 15. 136 16. 960011.解析： 如图 0150ABC 3,,13,23  CDABBDACBCAB 在 ABC 中，由余弦定理 ABCBCABBCABAC  cos2222 得 )2 3(2 32)2 3(13 22  ABABABAB 所以 2AB ， 3BC ，由于 000 6090150  ABDABCDBC . 在 ABC 中，由余弦定理 DBCBCBDBCBDCD  cos2222 可得 2 19 3 2 3 2BD BD     ，所以 32BD 或 3 （舍），则四边形 ABCD 的面积 2 37 2 33322 13222 1sin2 1 2 1   DBCBCBDBDABSSS BCDABD 12.方法一：由题意知 OFOFABAF 211 ,  ，故 OBFAOF 21  ，又由对称性知 21 BOFAOF  ，故 OBFBOF 22  ，所以 2BFOB  ，又 BFBF 21  ，所以 21 OFOFOB  ，所以 2OBF 为等边三角形，即 0 2 60BOF ，则过第一、三象限的 渐近线斜率 3tan 2  BOFk ，双曲线 C 的离心率为 211 2 2 2  ka b a c 方法二：不妨设点 )0)(,( ma bmmB ，故            a bmmcBFa bmmcBF ,,, 21 2 因为以 21FF 为直径的圆过点 B，所以 021  BFBF ，从而 02 22 22  a mbcm ，解得 am  故 ),( baB ，又 A 为 BF1 的中点，故       2,2 bcaA ，代入 xa by  可得 22 ca a bb  解得 ac 2 ，故双曲线 C 的离心率为 2. 16.解析：设每天派出 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，运输队所花成本为 z 元，则 * * 0 8 0 8 0 6 0 6 10 10 6 5 10 4 240 3 4 24 , , x x y y x y x y x y x y x y N x y N                             目标函数 1200 1800z x y  ,画出满足条件的可行域, 由图可知，当直线 1200 1800z x y  经过点 A 点（8,0）时使 z 取得最小 值，即 min 1200 8 1800 0 9600z      故每天只派 8 辆 A 型卡车运输，所花成本最低，最低成本为 9600 元. 17.解：（1）由题意得      2)5(log 1)2(log 3 3 ba ba ，解得      1 2 b a ……………………4 分 所以 *2 1,na n n N   ……………………5 分 （2）由（1）易知数列 }{ na 为以 1 为首项，2 为公差的等差数列 所以 nS = 2( 1) 22 n nn n   ， ……………………7 分 所以 nnS n nnnnnnb n 22 112)2( 22)2( 2  ……………………9 分 21 )21(2 2 11 1 1 1 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 11   n n nnnnT 2 1 )2)(1( 322 1    nn nn ……………………12 分 18.（1）由题意可知，A 地 2 家分为 1 2,A A ，B 地 3 家分为 1 2 3, ,B B B 所有的情况为： 1 2 1 1 2 2 1 2 3( , , ),( , , ),( , , )A A B A A B A A B ， 1 1 2 1 1 3 1 2 3( , , ),( , , ),( , , )A B B A B B A B B ， 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3( , , ),( , , ),( , , ),( , , )A B B A B B A B B B B B ，共 10 种情况 其中 A 地 1 家，B 地 2 家的有 1 1 2 1 1 3 1 2 3( , , ),( , , ),( , , )A B B A B B A B B ， 2 1 2 2 1 3 2 2 3( , , ),( , , ),( , , )A B B A B B A B B 共有 6 种，所求的概率为 6 3 10 5p   . …………………6 分 （2）由 6.8,t  563,y     8 1 108.8,i i i t t y y       8 2 1 1.6i i t t    ， 有      8 1 8 2 1 108.8ˆ 681.6 i i i i i t t y y b t t           ，且 ˆˆ 563 68 6.8 100.6a y bt      ， 所以 y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68y x  ， 当 49x  时，年销售量 y 的预报值 ˆ 100.6 68 49 576.6y    千件． 所以预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为 576.6 千件．…………………12 分 19.(1)证明：取 BC 中点 E，连接 DE，设 AB=AD=a,BC=2a, 依题意得，四边形 ABED 为正方形，且有 BE=DE=CE=a, BD=CD= 2a ， 2 2 2 ,BD CD BC   则 BD CD ， 又平面 SCD  底面 ABCD，平面 SCD  底面 ABCD=CD,， BD  平面 SCD．平面 MBD⊥底面 ABCD ………………5 分 (2)解：过点 S 作 CD 的垂线，交 CD 延长线于点 H，连接 AH， 可证 DH 为斜线 SD 在底面 ABCD 内的射影， SDH 为斜线 SD 与底面 ABCD 所成的角，即 60SDH   ． 由（1）得， 2SD CD a  ，在 Rt SHD 中， 2 62 , , ,2 2 a aSD a HD SH   ∴M 到平面 ABCD 的距离 ad 4 6 . 三棱锥 MBDC  的体积 3 12 6 4 6226 1 2 1 3 1 aaaadCDBDVV BCDMMBDC   ………………………………12 分 20.（1）由题意， 41)22(1)22(2 2 21  EFEFa H E 4 2,2,2  bca 故椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  …………………………4 分 （2）由（1）知    2,0 , 2,0A B 过点 A 且与 x 轴垂直的直线的方程为 2x   ， 结合方程 0 02 4 0x x y y   ，得点 0 0 22, xP y      直线 PB 的斜率 0 0 0 0 2 0 2 2 2 4 x y xk y       则直线 PB 的方程为  0 0 2 24 xy xy    . 因为 MN AB 于点 N ，所以  0 ,0N x ，线段 MN 的中点坐标为 0 0 , 2 yx     令 0x x ，得   2 0 0 0 0 0 2 424 4 x xy xy y      因为 2 2 0 02 4x y  ，所以 2 2 0 0 0 0 0 2 4 4 2 x y yy y y     ， 所以直线 PB 经过线段 MN 的中点 0 0 , 2 yx     . ………………………………12 分 21.解：（1）由于 )( xf  = )(xf 函数 )(xf 为偶函数 ………………2 分 ( ) 2 sin , (0) 0f x x a x f    ，故只需讨论 0x  时情况， 0,x  由三角函数性质知 sin ,2 , 2 sin , ( ) 0x x a x a x f x      ， 0x  时，f ( x ) 单调递增， 由偶函数性质知 0x  时，f ( x ) 单调递减， 故 2a  时函数 f（x）只有一个极小值点 x =0 ………………5 分 （2）由（1）知只需求   ,0x 时 )(xf 的最小值. xxxf sin2)('  ,当      2,0 x 时， 设 xxhxxxh cos2)(,sin2)( '   ，而 0)2(,0)0( ''  hh ， 由零点存在性定理，存在唯一的      2,00 x ，使得 0)( 0 ' xh 当 0)(),,0( ' 0  xhxx ， )(xh 单减，当 0)(),2,( ' 0  xhxx  ， )(xh 单增， 5 0 0(0, )x 0x 0( , )2x  2  ( , )2   ( )h x - - 0 + + ( )h x = ( )f x 2 sinx x  0 减 ( )h x 的极小 值点 增 0 + ( )f x  减 拐点 减 极小值 增 所以 4)2()( 2 min   fxf ……………12 分 22.解：依题意，曲线 4)2(: 22 1  yxC ，即 0422  xyx 故 0cos42   ，即  cos4 ……………………3 分 因为  2 2 sin31 4  ，故 2 2 23 sin 4    即 44 22  yx ，即 14 2 2  yx ……………………5 分 （2）将 0  代入  2 2 sin31 4  得， 0 2 2 sin31 4  Q 将 0  代入  cos4 得， 0cos4  P 由 OQ PQ ，得 QP  2 ，即   0 2 2 0 sin31 16cos4   ……………………7 分 解得 3 2sin 0 2  ，则 3 1cos 0 2  又 20 0   ，故 3 32 sin31 4 0 2  Q ， 3 34cos4 0  P 故 PMQ 的面积     0sin2 1  QPOMQOMPPMQ OMSSS 3 2 3 6 3 32 2 1  ……………………10 分 23.解：（1）因为 2 2 3a b ab   ，所以 2 2 3 2a b ab ab    ． ①当 0ab  时，3 2ab ab  ，解得 3ab  ，即 0 3ab  ； 6 ②当 0ab  时，3 2ab ab   ，解得 1ab   ，即 1 0ab   ， 所以 1 3ab   ，则 0 3 4ab   ， 而 2 2 2 2 3 2 3a b a b ab ab ab ab         ， 所以  20 4a b   ，即 2 2a b    ； ………………5 分 （2）由（1）知 0 3ab  ， 因为 2 2 2 2 2 2 1 1 3 4 4 3 4 4 a b a b ab a b ab       2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 1 1 1 1 13 3 04 4 4 2 ab a b ab a b ab a b ab ab                       当且仅当 2ab  时取等号，所以 2 2 1 1 3 4 4a b ab    ． ………………10 分