数学理卷·2018届湖南省长沙市高三第一次模拟（2018

数学理卷·2018届湖南省长沙市高三第一次模拟（2018

长沙市2018届高三第一次模拟试卷 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.设全集，函数的定义域为，集合，则的子集个数为（ ）‎ A．7 B．3 C．8 D．9 ‎ ‎3.函数（，）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎5.设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎8.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（ ）‎ A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 ‎ ‎9.已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（ ）‎ A．随增大而增大 B．随增大而减小 ‎ C．是2 D．是4 ‎ ‎10.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知双曲线：（，）的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，展开式的常数项为15， ．‎ ‎14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是 ．‎ ‎15.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为 ．‎ ‎16.已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在中，已知点在边上，且，，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求．‎ ‎18.如图，在多面体中，四边形为梯形，，均为等边三角形，，．‎ ‎（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”‎ 在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图频率分布直方图：‎ ‎（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 捐款不超过500元 合计 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附：临界值表参考公式：，．‎ ‎20.已知抛物线的顶点在原点，其焦点（）到直线：‎ 的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线 ，，其中，为切点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎（3）当点在直线上移动时，求的最小值．‎ ‎21.已知函数，点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）如果当时，都有，求的取值范围． ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．‎ ‎（1）求点，，，的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设，记的解集为．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）已知，比较与的大小．‎ 长沙市2018届高三第一次模拟试卷数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.4‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，则，‎ 所以，即．‎ 在中，由余弦定理，可知．‎ 即，解得，或．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）在中，由正弦定理，可知，‎ 又由，可知，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ ‎18.解：（1）当为线段的中点时，使得平面．‎ 证法如下：‎ 连接，，设，‎ ‎∵四边形为矩形，‎ ‎∴为的中点，‎ 又∵为的中点，‎ ‎∴为的中位线，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，故为的中点时，使得平面．‎ ‎（2）过作分别与，交于，，‎ 因为为的中点，所以，分别为，的中点，‎ ‎∵与均为等边三角形，且，‎ ‎∴，连接，，则得，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形为等腰梯形．‎ 取的中点，连接，则，‎ 又∵，，，‎ ‎∴平面，‎ 过点作于，则，‎ ‎∴，．‎ 分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则由条件可得：，，，，‎ ‎，．‎ 设是平面的法向量，‎ 则即 所以可取，‎ 由，可得，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19.解：（1）记每户居民的平均损失为元，‎ 则 ‎．‎ ‎（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有户，损失超过8000元的居民共有户，‎ 因此的可能值为0,1,2，‎ ‎，，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎（3）解得，，，，，，，‎ ‎，‎ 所以有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．　‎ ‎20.解：（1）依题意，设抛物线的方程为，由，结合，解得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）抛物线的方程为，即，求导得，‎ 设，（其中，），‎ 则切线，的斜率分别为，，‎ 所以切线的方程为，即，‎ 即．‎ 同理可得切线的方程为，‎ 因为切线，均过点，所以，，‎ 所以，为方程的两组解，‎ 所以直线的方程为．‎ ‎（3）由抛物线定义可知，，‎ 所以，‎ 联立方程消去整理得．‎ 由一元二次方程根与系数的关系可得，，‎ 所以，‎ 又点在直线上，所以，‎ 所以，‎ 所以当时，取得最小值，且最小值为．‎ ‎21.解：（1），‎ 依题意，，解得．‎ ‎（2）由（1）可知，代入得 ‎，即，‎ 因为当时，，时，，所以，‎ 所以，即，‎ 令，设，则，‎ 又．‎ ‎①当，即时，恒成立，‎ 所以在上单调递增，所以 ‎（i）当时，，又因为此时，，‎ 所以，即成立；‎ ‎（ii）当时，，又因为此时，，‎ 所以，即成立．‎ 因此当时，当时，都有成立，符合题意．‎ ‎②当，即时，由，得，，‎ 因为，所以，，‎ 当时，，所以在上递减，所以，‎ 又因为此时，，所以，即 与矛盾，所以不符合题意．‎ 综上可知：的取值范围是．‎ ‎22.解：（1）点，，，的极坐标为，，，，‎ 点，，，的直角坐标为，，，.‎ ‎（2）设，则（为参数），‎ ‎．‎ ‎23.解：（1）‎ 由，得或或 解得，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，‎ 当时，，所以；‎ 当时，，所以；‎ 当时，，所以．‎ 综上所述：当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎