河南省信阳高级中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题

河南省信阳高级中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题

信阳高中2019届高三上学期期末考试文数试题 第Ⅰ卷 一、单选题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．若函数的定义域是，则的定义域为（　　）‎ A．R B． C． D．‎ ‎3．若命题p为：为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为 则判断框中应填入的条件是 （ ）‎ A．T>4 B．T<‎4 C．T>3 D．T<3‎ ‎6．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知向量的夹角为，则的值为 A．0 B． C． D．‎ ‎8．函数 的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 9． 某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm），则该几何体的表面积为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D． ‎ ‎10．已知双曲线，的左，右焦点分别为. 直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知等比数列满足，且，则 A． B． C． D．‎ ‎12．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎14．若实数满足约束条件的最小值为__________．‎ ‎15．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则的值为_______________．‎ ‎16．若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图，已知是内角的角平分线．‎ ‎（1）用正弦定理证明：；‎ ‎（2）若，，，求的长．‎ ‎18．随着经济的发展，个人收入的提高．自‎2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ ‎(1)小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？‎ ‎(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；‎ ‎19．如图，已知五棱锥P－ABCDE，其中ABE，PCD均为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，BE＝2BC＝2CD＝2DE＝4，PB＝PE＝．‎ ‎（1）求证：平面PCD⊥平面ABCDE；‎ ‎（2）若线段AP上存在一点M，使得三棱锥P－BEM的体积为五棱锥P－ABCDE体积的，求AM的长．‎ ‎20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点A（4，t）到其焦点F的距离为5．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过点F作直线，使得抛物线C上恰有三个点到直线的距离为2，求直线的方程．‎ ‎21.设函数，R。‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程。‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1和C2的极坐标方程分别为和．‎ ‎（1）求曲线C1、C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线C1、C2的公共点为A、B，过点O作两条相互垂直的直线分别与直线AB交于点P、Q，求OPQ的面积的最小值．‎ ‎23．设函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)当的取值范围．‎ 高三上学期期末考试文数参考答案 ‎1．D 2．A 3．C 4．A 5．B 6．C. 7．C 8．A 9．B. 10．A 11．D 12．B ‎13． 14． 15．14. 16．‎ ‎17．（1）见解析；（2）.‎ ‎（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD 根据正弦定理，在△ABD中，=‎ 在△ADC中，=‎ ‎∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC ‎∴=，=‎ ‎∴=‎ ‎（2）根据余弦定理，cos∠BAC=‎ 即cos120°=‎ 解得BC= ‎ 又=‎ ‎∴=，‎ 解得CD=，BD=；‎ 设AD=x，则在△ABD与△ADC中，‎ 根据余弦定理得，‎ cos60°=‎ 且cos60°=‎ 解得x=，即AD的长为．‎ ‎18． （1）由于小李的工资、薪金等收入为7500元，‎ 按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；‎ 按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元，‎ 比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。‎ ‎（2）由频数分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，分别记为A，B，C，[5000，7000）中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，共21种情况，‎ 其中不在同一收入人群的有：Al，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，共12种，所以所求概率为.‎ ‎19．（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）AM＝．‎ ‎ (1)取CD中点O，BE中点N,连PN,ON.‎ 因为PCD为正三角形，所以，，‎ 因为PB＝PE＝BE＝4，所以，‎ 因为四边形BCDE为等腰梯形，所以，‎ 因为,所以，‎ 因为平面,所以平面,‎ 因为平面，因此平面 平面,‎ ‎（2）因为ABE为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，所以三点共线，‎ 过M作 于,则,‎ 因为平面,所以平面,‎ 因为三棱锥P－BEM的体积为五棱锥P－ABCDE体积的，‎ 所以 从而 ‎20．（I）；（II）.‎ ‎（Ⅰ）由抛物线的定义可知|AF|＝d＝45，‎ 解得：p＝2，‎ 故抛物线的方程是：y2＝4x；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为2，不合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），‎ 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2，‎ 且过点P的直线l平行y＝k（x﹣1）且与抛物线C相切．‎ 设切线方程为y＝kx+m，‎ 代入y2＝4x，可得k2x2+（‎2km﹣4）x+m2＝0．‎ 由△＝（‎2km﹣4）2﹣4k‎2m2‎＝0，得km＝1．‎ 由，整理得：3k2﹣‎2km﹣m2+4＝0．‎ 即，解得，即k．‎ 因此，直线方程为y．‎ ‎22．（1）因为，所以由得，由得，‎ ‎（2）由，；得AB:,‎ 即，设,‎ 所以 ‎23． （1）当a=1时，，‎ 可得的解集为 ‎（2）当时，‎ ‎,‎ 因为， ‎ 所以.‎ 所以，所以.‎ 所以a的取值范围是[-3，-1]‎