高考数学专题复习：知能优化训练必修一
第一章 1.3.2 知能优化训练 必修一
一、选择题
1、函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区
间(a，b)内的极小值点有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
2、函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极值，则 a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3、y＝x3－6x＋a 的极大值为________．
4、求函数 f(x)＝x＋1
x
的极值．
5、设 x0 为可导函数 f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
A．必有 f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0 或 f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为 0
6、下列函数存在极值的是( )
A．y＝1
x
B．y＝x－ex
C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3
7、函数 f(x)＝－1
3
x3＋1
2
x2＋2x 取极小值时，x 的值是( )
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
8、已知函数 y＝x－ln(1＋x2)，则 y 的极值情况是( )
A．有极小值 B．有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．无极值
9、已知函数 f(x)＝x3－ax2－bx＋a2 在 x＝1 处有极值 10，则 a、b 的值为( )
A．a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝1 或 a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5
D．以上都不正确
10、“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
11、函数 f(x)＝x3－6x2－15x＋2 的极大值是________，极小值是________．
12、设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则 a 的取值范围为________．
13、若函数 y＝－x3＋6x2＋m 的极大值等于 13，则实数 m 等于________．
三、解答题
14、求下列函数的极值．
(1)f(x)＝ x3－2
2 x－1 2；
(2)f(x)＝x2e－x.
15、设函数 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0
0)有极大值－5
2
，求 m 的值．
以下是答案
一、选择题
1、解析：选 A.函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数
f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1 个．
2、解析：选 D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在 x＝－3 处取得极值，
∴f′(－3)＝0，即 27－6a＋3＝0
∴a＝5.
3、a＋4 2
解析：y′＝3x2－6＝0，得 x＝± 2.当 x<－ 2或 x> 2时，y′>0；当－ 20，当 x>0 时，
f′(x)<0.∴y＝f(x)在 x＝0 处取极大值，f(0)＝－1.
C 中 f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
∴y＝f(x)无极值．D 也无极值．故选 B.
7、解析：
选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)·(x＋1)，
∵在 x＝－1 的附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，
∴x＝－1 时取极小值．
8、解析：选 D.f′(x)＝1－ 2x
1＋x2＝ x－1 2
1＋x2 ≥0，∴函数 f(x)在定义域 R 上为增函数，故选 D.
9、解析：选 A.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在 x＝1 处 f′(x)有极值，∴f′(1)＝0，即 3－2a－b＝0.①
又 f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即 a2－a－b－9＝0.②
由①②得 a2＋a－12＝0，∴a＝3 或 a＝－4.
∴
a＝3，
b＝－3，
或
a＝－4，
b＝11.
当
a＝3
b＝－3
时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故 f(x)在 R 上单调递
增，不可能在 x＝1 处取得极值，所以
a＝3
b＝－3
舍去．
10、解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之成立．故
选 B.
二、填空题
11、10 －98
解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，
在(－∞，－1)，(5，＋∞)上 f′(x)>0，在(－1,5)上
f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值
＝f(5)＝－98.
12、(－∞，－1)
解析：y′＝ex＋a，由 y′＝0 得 x＝ln(－a)．
由题意知 ln(－a)>0，∴a<－1.
13、－19
解析：y′＝－3x2＋12x，由 y′＝0，得 x＝0 或 x＝4，容易得出当 x＝4 时函数取得极大值，所以－43＋
6×42＋m＝13，解得 m＝－19.
三、解答题
14、解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f′(x)＝ x－2 2 x＋1
2 x－1 3 ，
令 f′(x)＝0，
得 x1＝－1，x2＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) ↗ －3
8 ↘ ↗ 3 ↗
故当 x＝－1 时，函数有极大值，
并且极大值为 f(－1)＝－3
8
.
(2)函数的定义域为 R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·(1
ex)′
＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ 4e－2 ↘
由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且为 f(0)＝0；当 x＝2 时，函数有极大值，且为 f(2)＝4e
－2.
15、解：由 f(x)＝sin x－cosx＋x＋1,0
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